首先我们必须明白时域法是直接在时间域上对系统进行分析的方法,具有直观、准确的优点,它可以提供系统时间相应的全部信息。(该方法是最基本的方法,该方法引出的概念、方法、结论都是以后学习复域法、频域法等的基础)

控制系统的性能指标分为动态性能指标静态性能指标

在引入典型输入信号的原因是:控制系统的输入信号具有随机性,而如果在这个瞬态上获得系统的解析表达式,难以做到,因此希望有一些特殊的输入信号,通过这些输入信号以及其响应是一个非常不错的选择。

3.1

1、典型的输入信号

① 单位阶跃信号 对应的输出:单位阶跃响应

一般形式的阶跃函数:

当A=1时,则为单位阶跃函数

②单位斜坡信号 对应的输出:单位斜坡响应

一般形式的斜坡函数

当A=1时则为单位斜坡函数

③单位脉冲信号 对应的输出:单位脉冲响应

当A=1时为单位脉冲函数。

④单位加速度信号 对应的输出:单位加速度响应

A=½时为单位抛物线函数

⑤正弦信号。

四种典型单位输入信号的关系

2、控制系统的时域性能指标

(1)响应过程分为动态过程稳态过程

①动态过程:系统在典型信号的作用下,系统从初始状态到最终状态的过程

表现为衰减、发散和等幅振荡几种形式(系统要稳定正常工作,其动态过程必须衰减)

动态过程可以提供a、系统的稳定信息、b、响应速度c、阻尼情况

②稳态过程:系统在典型信号的作用下,时间t趋于无穷大的时候输出量的表现形式,

稳态过程提供了稳态误差的信息。

我们一般认为阶跃输入对系统而言是比较严峻的工作状态,所以如果系统在阶跃函数的作用下也能满足性能要求,那么其他情况也应该是令人满意的,因此系统的动态性能指标,均是在单位阶跃函数作用下测定计算的

并且在分析的时候,一般假定系统在阶跃信号作用前处于静止状态,而且系统输出量以及各阶导数均为零

(2)性能指标有以下:(全部都是以阶跃响应下定义)

延迟时间td:阶跃响应第一次达到终值C(∞)的50%所用的时间。

上升时间tr:阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间,对有振荡的系统,也可以定义为从0第一次到达终值所需的时间

峰值时间tp:阶跃响应越过终值C(∞)到达第一个峰值所需的时间

调节时间ts:阶跃响应到达并保持终值C(∞)的±5%误差带内所需的最短时间。

有时候也用终值的±2%误差带来定义

⑤超调量σ%:峰值c(tp)超出终值c(∞)的百分比 即σ%=*100%

3.2一阶系统的时域分析

1、一阶系统的数学模型

例子:

其微分方程为:T \frac{dc(t)}{dt} +c(t)=r(t)

拉氏变换后,传递函数为 Φ(S)= \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{1}{Ts+1}

(T的含义随系统的不同而不同)

用方框图表示时有两种形式:

形式一:一阶系统

形式二:单位反馈一阶系统

2、一阶系统的单位阶跃响应

r(t)=1(t) 拉氏变换后 R(S)=1/S

因此C(S)= Φ(S)R(S)=\frac{1}{Ts+1}* \frac{1}{s} 对这个式子进行拉氏反变换得:c(t)=1- e^{-t/T} (t≥0)

从c(t)的表达式中可以看到,初始值为0,终值为1

因此画出其响应曲线为

特点:

①当t等于T的整数倍时,即t=T,2T,3T,4T时候,响应的c(t)为总变化量的0.632、0.865、0.95、0.982倍,根据这个特点可以判断是否为一阶系统(这个要背背)

②t=0时候,输出相应的斜率为最大:

\frac{dc(t)}{dt}|_{t=0} = \frac{1}{T}e^{-t/T}|_{t=0}=\frac{1}{T}

进过计算我们可以得到一阶系统的动态性能指标为:td=0.69T,tr=2.20T,ts=3T

峰值时间tp和超调量σ%不存在,稳态误差ess=0。

记住这个:T值的大小反映系统的惯性。T值越小,惯性就越小,响应速度就快;T值大,惯性就大,相应速度就慢。这一结论也适用于一阶系统以外的系统(因为T越小,对应的ts就越小。)

3、一阶系统的单位脉冲响应

r(t)= δ(t) , 其拉氏变换为R(S)=1

所以C(S)= Φ(S)R(S)=\frac{1}{Ts+1} 其拉氏反变换为 c(t)=\frac{1}{T}e^{-t/T} (t≥0)

其斜率公式\frac{dc(t)}{dt}=- \frac{1}{T^{2}}e^{-t/T} 所以\frac{dc(t)}{dt}|_{t=0}=- \frac{1}{T^{2}} , \frac{dc(t)}{dt}|_{t=∞}=0 (为什么要求斜率,其实是因为 就像高中学数学一样,从斜率可以大概看出它的函数规律)

调节时间按衰减到终值的5%求取 Ts=3T(T越小,响应速度越好

注:理想脉冲函数无法得到,因此往往以脉宽为b、幅值有限的脉动函数代替理想单的脉动函数δ(t),而且要求脉宽b<0.1T。

4、一阶系统的单位斜坡响应

r(t)=t, 其拉氏变换 R(S)= \frac{1}{s^{2}}

C(S)= Φ(S)R(S)=\frac{1}{Ts+1}*\frac{1}{s^{2}} 其拉氏反变换为c(t)=t-T+Te^{-t/T}

其中 t-T为稳态分量:其与斜坡输入函数的斜率相同,但在时间上之后一个T,因此存在位置误差,

Te^{-t/T}为瞬态分量:随着时间单调衰减

特点:

①系统的输出量和输入量之间的位置误差随时间推移逐渐增大,但最后趋向于T。因此,T越小,位置误差越小

②在t=0时,初始实线的斜率为0 (\frac{dc(t)}{dt}|_{t=0}=1-e^{-t/T}|t|_{t=0}=0)

因此初始状态的输出速度(实线斜率)和输入速度(虚线斜率)之间误差最大

5、一阶系统的单位加速度响应

r(t)= \frac{t^{2}}{2} 其拉氏变换为R(S)= \frac{1}{s^3} .

因此C(S)= Φ(S)R(S)=\frac{1}{Ts+1}* \frac{1}{s^3} 其拉氏反变换为c(t)=\frac{t^{2}}{2}-Tt+ T^{2} (1-e^{-t/T})

跟踪误差e(t)=r(t)-c(t)= \frac{t^{2}}{2}-[\frac{t^{2}}{2}-Tt+ T^{2} (1-e^{-t/T})]=Tt- T^{2} (1-e^{-t/T})

当t趋向于∞时,e(t)趋于无穷大,因此得出一阶系统无法跟踪加速度信号

3.3二阶系统的时域分析

用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统,其应用广泛,甚至许多高阶系统在一定条件下可以用二阶系统表示。

  1. 二阶系统的数学模型

书本上一开始就来了一个RLC电路,推导出一个二阶系统的模型,

其微分方程为 LC\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}+RC\frac{dc(t)}{dt}=+c(t)=r(t)

所以其传递函数为 Φ(S)= \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{1}{LCs^2+RCs+1}

我们对这个传递函数标准化(标准化后,参数有具体意义),就可以得到

Φ(S)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2}

其中wn= \frac{1}{\sqrt{LC}} 称为自然频率,单位rad/s, ζ= \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} 称为二阶系统的阻尼比,无量纲

其开环传递函数为 G(S)= \frac{w_{n}^2}{s(s+2ζw_{n})}

令闭环传递函数的分母多项式为0,其闭环系统的特征方程 s^{2} +2ζ w_{n} s+ w_{n}^{2} =0

得出其根(闭环极点)为 S_{1,2} =-ζ w_{n} ± w_{n}\sqrt{ζ^2-1}

通过分析不同的ζ情况,得出不同的特征根状况

①欠阻尼:0<ζ<1 S1,2=-ζ w_{n} ±j w_{n}\sqrt{1-ζ^2}

②无阻尼:ζ=0 S1,2=±j w_{n}

③临界阻尼:ζ=1 S1,2=- w_{n}

④过阻尼:ζ>1 S1,2=-ζ w_{n} ± w_{n}\sqrt{ζ^2-1}

2、二阶系统的单位阶跃响应

r(t)=1 R(S)= \frac{1}{s}

(1)欠阻尼 (0<ζ<1)

S1,2==-ζ w_{n} ±j w_{n}\sqrt{1-ζ^2}=-ζ w_{n} ±j w_{d}

其中令w_{d}=w_{n}\sqrt{1-ζ^2},这条公式一定要记住,wd称为阻尼振荡频率

所以输出C(S)= Φ(S)R(S)=\frac{1}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2}*\frac{1}{s}

=\frac{1}{s}\frac{s+2ζw_{n}}{s^2+2ζw_{n}s+w_{n}^2}=\frac{1}{s}\frac{s+ζw_{n}}{(s+ζw_{n})^2+w_{d}^2}\frac{ζw_{n}}{(s+ζw_{n})^2+w_{d}^2}

拉氏反变换为 :

c(t)=1- e^{-ζw_{n}t} (cos w_{d} t- \frac{ζw_{n}}{w_{d}} sin w_{d} t) =1- e^{-ζw_{n}t} (cos w_{d} t- \frac{ζ}{\sqrt{1-ζ^2}} sin w_{d} t)

=1- \frac{e^{-ζw_{n}t}}{\sqrt{1-ζ^2}} sin(w_{d} t+β)

式中β=arctg \frac{\sqrt{1-ζ^2}}{ζ} (β也等于arccosζ) 称为滞后角

(记忆方法:cosβ=ζ,sinβ= \sqrt{1-ζ^2}

从c(t)的式子看,发现其由稳态和瞬态两部分组成,稳态部分等于1,表明不存在稳态误差(1-r(t)=0),瞬态部分是阻尼振荡,阻尼的大小由ζ w_{n} (即特征根实部ζ w_{n}=σ )决定;

ζ越小,超调量越大

(2)无阻尼(ζ=0)

C(t)=[1- e^{-ζw_{n}t} (cos w_{d} t- \frac{ζ}{\sqrt{1-ζ^2}} sin w_{d} t)] |_{ζ=0} =1- cost w_{n}(把ζ=0带入欠阻尼那条式子即可) (此时wn=wd)

响应曲线:此时为等幅振荡

(3)临界阻尼(ζ=1)

C(t)=[1- e^{-ζw_{n}t} (cos w_{d} t- \frac{ζ}{\sqrt{1-ζ^2}} sin w_{d} t)] |_{ζ=1} =1- e^{-w_{n}t}(1+w_{n}t) (t≥0)(一样的把ζ=1带入欠阻尼那条式子)(第三项计算的时候要用洛必达就可以得到那个结果了)

响应曲线:单调上升,无振荡,无超调,无稳态误差

(4)过阻尼(ζ>1)

C(S)= \frac{w_{n}^2}{s(s+ζw_{n}-w_{n}\sqrt{ζ^2-1})(s+ζw_{n}+w_{n}\sqrt{ζ^2-1}))}

因此对其作拉氏反变换

c(t)=1- \frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}(ζ-\sqrt{ζ^2-1})}e^{-(ζ-\sqrt{ζ^2-1})w_{n}t} +\frac{1}{2\sqrt{ζ^2-1}(ζ+\sqrt{ζ^2-1})}e^{-(ζ+\sqrt{ζ^2-1})w_{n}t}

=1+ \frac{e^{-t/T_{1}}}{T_{2}/T_{1}-1} +\frac{e^{-t/T_{2}}}{T_{1}/T_{2}-1}(t≥0)

T1、T2成为过阻尼二阶系统的时间常数,而且T1>T2

如果ζ>>1时,可以把-1/T2指数项的分量忽略,这样过阻尼的相应类似于一阶系统的相应

响应曲线:单调上升,无振荡,过渡过程时间长,无稳态误差。

(5)负阻尼(ζ<0)

其有一对共轭复根,且极点实部大于零

响应有两种状态,一种是振荡发散,一种是单调发散

由于系统此时不能正常工作,那么研究也就没有意义了。

小结:阻尼比决定了系统的振荡特性

  1. ζ<0 时(负阻尼),响应发散,系统不稳定;
  2. ζ=0时(无阻尼),等幅振荡
  3. 0<ζ<1时(欠阻尼),有振荡,ζ越小,振荡越严重,但响应越快
  4. ζ≥1时(过阻尼和临界阻尼),无振荡,无超调

除不允许产生振荡的系统,通常采用欠阻尼状态,阻尼比选择在0.4~0.8之间,保证系统有好的运动动态。(此时响应曲线超调量合适,调节时间短)

还必须注意,ζ<0.4时,会使超调量较大,ζ>0.8时,又会使响应迟缓

(这里判断的时候,紧紧记住那个好多ζ的图就好)

ζ一定时,ωn越大,瞬态分量衰减越快,系统能更快达到稳态值,系统的快速性越好

(这是因为wn在指数部分且带一个负号,所以其越大,衰减越快)

3、欠阻尼二阶系统的动态过程分析

回忆一下动态指标:tr、 tp 、σp%、ts 。

图中 衰减系数σ指闭环极点到虚轴之间的距离,阻尼振荡频率为闭环极点到实轴的距离,自然频率是闭环极点到原坐标之间的距离,与负实轴的余弦是阻尼比,即ζ=cosβ

(1)上升时间

根据定义,令c(t)=1,得\frac{e^{-ζw_{n}t}}{\sqrt{1-ζ^2}} sin(w_{d} t+β)=0,因为 e^{-ζw_{n}t} ≠0,所以sin( w_{d}t_{r} +β)=0

解得 w_{d}t_{r}+β=kπ,由于tr的定义是第一次到达的时间,所以取k=1,则得到

上升时间为 t_{r} = \frac{π-β}{w_{d}} = \frac{π-arccosζ}{w_{n}\sqrt{1-ζ^2}}

从式中可以看出,当ζ一定时,β不变,系统的相应速度和wn成正比

当阻尼振荡频率wd一定时,ζ越小,上升时间越短

(2)峰值时间

对c(t)求导 \frac{dc(t)}{dt}|_{t=tp} =0

所以得\frac{e^{-ζw_{n}tp}}{\sqrt{1-ζ^2}}w_{n} sin(w_{d} tp+β-β)=0 因为\frac{e^{-ζw_{n}tp}}{\sqrt{1-ζ^2}}w_{n} ≠0,所以有sin(w_{d} tp+β-β)=0

所以,w_{d} tp=2kπ,取k=1得

tp= \frac{π}{w_{d}} = \frac{π}{w_{n}\sqrt{1-ζ^2}}

式子说明峰值时间等于阻尼振荡周期的一半,ζ一定时,wn越大,tp越小

(3)超调量σ%:

最大超调量发生在峰值时间tp时,把其带入c(tp),得到c(tp)= 1- \frac{e^{-πζ/\sqrt{1-ζ^2}}}{\sqrt{1-ζ^2}} sin(π+β)

因为sin(π+β)=- \sqrt{1-ζ^2} (这是因为sinβ=\sqrt{1-ζ^2}) 所以可以写成c(tp)=1+ e^{-πζ/\sqrt{1-ζ^2}}

又由于终值为1,所以得

最大超调量百分比 σ%=e^{-πζ/\sqrt{1-ζ^2}}= e^{-πcotβ}

ζ越大,从而β越小,所以cotβ越大,所以超调量越小,

当ζ在0.4-0.8范围内时,σ%在1.5%~25.4%之间

  1. 调整时间ts :回忆一下, 单位阶跃响应进入±△误差带的最小时间

ts= \frac{3.5}{ζw_{n}}

小结:

  1. 二阶系统的动态性能由w_{n} 和ζ决定
  2. 增加ζ:a、降低振荡(即ts减小),减少超调量 b、系统的快速性能降低,tr、tp增加。
  3. ζ一定,wn越大,系统响应快速性越好,tr、tp、ts越小
  4. 超调量仅与ζ有关,而tr、tp、ts与ζ、wn有关

4、二阶系统的性能改善

(1)比例—微分控制

其结构图:Td为微分时间常数,比例因子是1,E(s)为误差信号

开环传递函数:G(S)= \frac{C(s)}{E(s)} =\frac{w_{n}^2}{s(s+2ζw_{n})}(T_{d}s+1)= \frac{K(T_{d}s+1)}{s(\frac{s}{2ζwn}+1)} 其中K为 \frac{w_{n}}{2ζ}

闭环传递函数: Φ(S)= \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{s+z}{s^2+s(ζ+w_{n}\frac{T_{d}}{2})w_{n}s+w_{n}^2} * \frac{w_{n}^2}{z} (令z=1/ T_{d}

增加一个闭环零点 -z=-1/ T_{d} 阻尼比增大 ζ_{d} =ζ+ \frac{T_{d}w_{n}}{2} =ζ+ \frac{w_{n}}{2z}

特点:

①引入比例-微分控制,阻尼比增加,从而抑制振荡,使超调减弱,改善系统平稳性;

②闭环零点的出现,既加快系统响应速度,使上升时间缩短,峰值提前,又削弱了“阻尼”作用。适当选择微分时间常数Td,使系统既有较好的平稳性,又在出现较小超调情况下,提高快速性。

③不影响系统误差,自然频率不变

单位阶跃信号作用下的输出响应

C(S)= Φ(S)R(S)= \frac{w_{n}^2}{(s^2+2ζ_{d}w_{n}s+w_{n}^2)s} +\frac{w_{n}^2}{s^2+2ζ_{d}w_{n}s+w_{n}^2}*\frac{1}{z}

其输出相应为 c(t)=1+r e^{-ζ_{d}w_{n}t} sin(wn \sqrt{1-ζ_{d}^{2}} t+φ)

r=\sqrt{z^2-2ζ_{d}w_{n}+w_{n}^2}/z\sqrt{1-ζ_{d}^{2}}

φ=-π+arctan[wn\sqrt{1-ζ_{d}^{2}}/(z- ζ_{d}w_{n} )]+arctan(\sqrt{1-ζ_{d}^{2}}/ζd)

部分性能指标:

峰值时间tp:对c(t)求导,令其为0,

得tp= \frac{β_{d}-φ}{w_{n}\sqrt{ 1-ζ_{d}^2}} ,其中βd=arctan(\sqrt{1-ζ_{d}^{2}}/ζd)

超调量σ%:σ%=r*\sqrt{1-ζ_{d}^{2}}e^{-ζ_{d}t_{p}/\sqrt{1-ζ_{d}^2}}

调节时间ts: \frac{3+\frac{1}{2}ln(z^2-2ζ^{d}w_{n}+w_{n}^2)-lnz-\frac{1}{2}ln(1-ζ_{d}^2)}{2ζ_{d}w_{n}}

(2)测速反馈控制

开环传递函数:G(S)=\frac{w_{n}^2}{s^2+s(2ζw_{n}+k_{t}w_{n}^2)}=\frac{K}{s[s/(2ζw_{n}+K_{t}w_{n}^2)+1]}

其中K= \frac{w_{n}}{2ζ+K_{t}w_{n}}

闭环传递函数:Φ(S)= =\frac{w_{n}^2}{s^2+2ζ_{t}w_{n}s+w_{n}^2} 式中阻尼比ζt =ζ+½ K_{t}w_{n}

两种控制系统比较如下:

(1)开环增益K,比例—微分控制不改变开环增益K 。

(2)wn不变,阻尼比增大。分别为

ζt=ζ+ \frac{K_{t}w_{n}}{2} ,ζd=ζ+ \frac{T_{d}w_{n}}{2} 当Kt=Td时,两者相等 。

(3)比例—微分控制提供一个实零点,在相同的阻尼比时,超调量大于测速反馈控制。

(4)比例—微分控制对输入噪声有放大作用,输入端高频噪音严重时,不宜选用此方法。测速反馈控制无需设置放大器,适合任何输出可测的控制系统。

5、附加零点对欠阻尼二阶系统的影响

附加一个闭环零点,超调量上升,上升时间下降,峰值时间下降。

附加零点对过阻尼二阶系统的影响

附加极点对系统的影响

对所有的二阶系统,增加零点,削弱阻尼,超调变大,上升时间变短,调节时间不一定小。

3.4线性系统的稳定性分析

1、系统稳定的条件:系统初始条件为0时,受到δ(t)的作用,输出c(t)为单位脉冲响应,这相当于系统在扰动的作用下,输出信号偏离平衡点的问题,当t→∞时,

若=0——————-系统稳定

若=∞——————系统不稳定

若=A(A为非零常数)—临界稳定

(t≥0)

系统稳定的充分必要条件:系统特征方程的根全部具有负实部,即闭环系统的极点全部在s平面左半部。

注:稳定性与零点无关

  1. 劳思稳定判据

其特点是要知道系统的闭环传递函数,其线性系统的闭环特征方程为

用例子去说明,

讨论特殊情况一,因为第一列元素会作为分母,当第一列出现0时,要用一未知量代替

特殊情况二,出现全行都是0

3.5 线性系统的稳态误差

1、误差的基本概念

系统的误差通常用两种方法定义:

(1)按输入端定义:

E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)

(2)按输出端定义

E'(S)=R(S)/H(S)-C(S)

按输入端定义的误差E(S)通常在实际系统中可以测量,具有一定的物理意义,但误差理论的含义部十分明显,按系统输出端定义误差是希望输出与实际输出C(s)之差,比较接近误差的理论意义。但通常不可测量

两种误差定义之间的关系是:E'(S)=E(s)/H(s)

2、计算误差的一般方法

最常用的就是终值定理法,该方法适合各种情况下的稳态误差计算,以下说明步骤

①判定系统的稳定性:稳定是系统正常工作的前提条件,否则稳态误差没有意义

②求误差传递函数:Φe= \frac{E(s)}{R(s)} = \frac{1}{1+G(s)H(s)} 公式由来:R(S)-E(S)*G(S)H(S)=E(S)

误差信号e(t)是E(S)的拉氏反变换 ,其由瞬态分量 ett(t)和稳态分量ess(t)两部分组成

由于系统必须稳定,所以t→∞时,ett(t)=0,所以稳态误差就是ess(t)

用终值定理求稳态误差:ess= \lim_{s \rightarrow 0}{sE(s)}

终值定理应用条件是sE(s)在右半平面及虚轴上解析,即sE(s)几点全部为s平 面左半平面。当系统不稳定或者R(S)的几点由于虚轴上以及虚轴右边时,该条件不满足

这个系统的稳态误差ess= \lim_{s \rightarrow 0}{sE(s)}= \lim_{s \rightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}=\lim_{s \rightarrow 0}{s*\frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}}

3、系统型别

开环传递函数G(s)H(s)= \frac{K\prod_{i=1}^{m}(τ_{i}+1)}{s^v\prod_{j=1}^{n-v}(T_{j}s+1)}

式中K为开环增益,和为时间常数,v为开环积分环节的数目,称为系统的型别或无差

度。按v的不同,系统分类如下:

V=0,称为0型系统,或有差系统

V=1,称为Ⅰ型系统,或一阶无差系统

V=2,称为Ⅱ型系统,或二阶无差系统

V>2,除复合控制外,系统难以稳定,在此不做讨论

令=,则当s→0时,有→1

因此G(s)H(s)= \frac{K}{s^v}G_{0}(s)H_{0}(s)

所以Φe= \frac{E(s)}{R(s)} = \frac{1}{1+\frac{K}{s^v}G_{0}(s)H_{0}(s)} 所以ess= \lim_{s \rightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}= \frac{\lim_{s \rightarrow 0}{s^{v+1}R(s)}}{K+\lim_{s \rightarrow 0}{s^v}}

4、静态误差系数

①阶跃输入 r(t)=A*1(t),则R(S)=A/S,A是阶跃函数的幅值。

所以ess= \lim_{s \rightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}= \lim_{s \rightarrow 0}{s*\frac{1}{1+G(s)H(s)}*\frac{A}{s}}= \frac{A}{1+\lim_{s \rightarrow 0}{G(s)H(s)}}

定义:静态位置误差系数:Kp== \lim_{s \rightarrow 0}{sG(s)H(s)}== \lim_{s \rightarrow 0}{\frac{K}{s^v}}

(根据系统型别那部分内容去理解)

因此:

因此,要为0,则用I型以上系统,0型系统在阶跃输入下存在非零的稳态误差

②斜坡输入 r(t)=At,A为斜坡输入函数的斜率

ess= \lim_{s \rightarrow 0}{sE(s)}= \lim_{s \rightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}=\lim_{s \rightarrow 0}{s*\frac{1}{1+G(s)H(s)}*\frac{A}{s^2}}=(因为分母那里1那一部分乘以s之后,s趋向于0时那部分趋向于0,所以有) = \frac{A}{\lim_{s \rightarrow 0}{sG(s)H(s)}}

定义:静态速度误差系数: K_{v} = \lim_{s \rightarrow 0}{sG(s)H(s)} =\lim_{s \rightarrow 0}{\frac{K}{s^{v-1}}}

因此选Ⅱ型以上系统不存在稳态误差,选用Ⅰ型系统存在有限误差,表明稳态输出时的速度和输入速度相同(因为是相减),0型系统不能跟踪斜坡输入

③加速度输入 r(t)=A \frac{t^2}{2} ,A是加速度输入函数的速度变化率

ess= \lim_{s \rightarrow 0}{sE(s)}= \lim_{s \rightarrow 0}{sΦe(s)R(s)}=\lim_{s \rightarrow 0}{s*\frac{1}{1+G(s)H(s)}*\frac{A}{s^3}}= (这里也一样把s^2那部分略去)= \frac{A}{\lim_{s \rightarrow 0}{s^2G(s)H(s)}}

定义静态加速度误差系数 K_{a} = \lim_{s \rightarrow 0}{s^2G(s)H(s)} =\lim_{s \rightarrow 0}{\frac{K}{s^{v-2}}}

假设系统的输入信号是多种典型函数的组合,例如r(t)=(A+Bt+C)*1(t)那么可根据线性叠加原理求解稳态误差,ess= \frac{A}{1+K_{p}} + \frac{B}{K_{v}} + \frac{c}{k_{a}}

小结

从中我们可以看到,增大K,那么就减小,如果增加开环传递函数中的积分环节,那么就可以消除稳态误差(例如在对于Ⅰ型系统,输入斜坡信号会有误差,但是增加积分环节,使其提升到Ⅱ级系统以上,那么就误差就为0)

6、扰动作用下的误差

essn= \lim_{s \rightarrow 0}{sΦen(s)N(s)} = \lim_{s \rightarrow 0}{s*\frac{-G_{2}(s)H(s)}{1+G_{1}(s)G_{2}(s)H(s)}}*N(s) =N(S)

当| G_{1}(s)G_{2}(s)H(s) |>>1,有essn= \lim_{s \rightarrow 0}{s*\frac{-N(s)}{G_{1}(s)}}


大家可以评论相关自动控制的问题,我也会耐心给你们解答的(#^.^#)

以上内容未经本人同意禁止转载~~

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:杨家俊

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