发现其他回答中，最简单的回答依然要用数值的方法。化学的方法中，习惯于用一切简化的方法找到解析解。所以我愿意做一下近似与简化，给出简单的求解解析式。

此问题中，其实绝对光滑不太合适，一般可以考虑原子级别的光滑就已经可以使用（或可以看做没有接触角滞后现象）。为了让解析式简便，此题转化为：

如果将体积为V的液体水滴落到原子级别光滑的光滑固体表面上，设固体表面对水的接触角为θ，那么液滴稳定后，液滴与固体之间的接触面积S有多大？

下面我仅仅使用参数V和θ，以及水的物性常数找出S的简单解析式。

首先，此题必须分为两种情形。第一种，是液体V很小时，此时表面张力占主导地位。此解法宫非前辈已经给出，但是其解析式不够简化。因此我进一步加以简化。当表面张力占主导时，液滴成完美的球缺状，如图1所示。

此时根据球的体积公式，以及简单的三角函数变换，就可以得出S与V和θ的关系，具体推导过程如图2所示。

此时可以看出，S与V的2/3次方是正比例关系。对于自然界任何光滑的表面，接触角处于0到122°的范围内，可以绘出S与θ的关系，如图3所示。

上图是接触角从5°到120°范围内的接触面积的变化关系，基本上涵盖了自然界中的大多数物质的光滑固体表面。

然后再是第二种情形，就是液体体积很大，此时表面张力很弱，重力占主导地位的场景。此时，液滴在光滑固体表面的呈现出扁平状。如图4所示。

有意思的是，已经有前人对这种情形做过详细的受力分析。得出只要接触角一定，此时无论加多少水，液体的厚度e都不会增加，只会增加铺展的面积。其厚度e的表达式为：

式中，γ为表面张力，p为密度，g为重力加速度。

由于此时，表面张力影响很小，液膜可以看成均匀的厚度，所以满足

V=Se

从而可以推出：

至于具体的推导e的过程，可以见如下分析：

参考文献： Capillarity and Wetting Phenomena 书籍。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：阿黄sweetgirl

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