交换群、域和有序域

这篇文章是我下面Live的前序内容，也就是你在live前最好看一次这篇文章，不明白的同学请提意见，我会酌情修改。

这个live会由浅入深地介绍实数地构造方法和唯一性，以及各种实数地性质。我希望对各个层次的人都有帮助，不管是初学者还是复习实数的人。

为了让听live的人有所准备，我写了这个这篇文章。内容上会以科普性质为主，听我的Live前请务必弄懂这篇文章的概念。(已经知道这些概念的人可以略过这个内容)。

在数学中，我们都是会从具体走向抽象，抽象本身的好处是可以得到普遍之法，让人可以透过现象到本质，让理论的具体应用变得容易。比如，切一个方形蛋糕，一边切2刀，另一边是2刀。小孩子都知道最后是9个。但是小孩子也许需要在纸张上模拟，然后数方块。但是抽象来看就是3乘以3罢了。我们用日常生活中四则运算的时候，我们真正计算的是数字本身。由于对于普通人来说，由于从小接受教育，数字对于普通人已经是「具体」了。但是，对于没接教育或者很多远古的人来说，数字不是那么容易理解的。甚至连0都理解不了，他们无法理解用一个「存在」的符合代表「什么都不存在」。事实上，我还在知乎上被问「0为什么能表示什么都不存在」。到了高中毕业的时候，你大概已经知道有整数、理数、实数，加法和乘法。那么，是否有一种综合他们的抽象呢？

一、交换群

我们首先看几个例子：

例子一、设 $\mathbb{Z}$ 是整数构成的集合，我们用 $+$ 表示通常意义上的加法和乘法。我们知道，它满足下面的性质：

交换律： $x+y=y+x \quad \forall x,y\in\mathbb{Z}$ ,

结合律： $(x+y)+z=x+(y+z) \quad \forall x,y,z\in\mathbb{Z}$

有单位元： $x+0=x\quad \forall x\in\mathbb{Z}$

可逆性：对于任意 $x$ , $-x+x=0$ .

例子二、设 $p$ 是一个正整数， $\mathbb{F}_p:=\{0,1,2,\cdots,p-1\}$ ，我们定义的一个「加法」 $\dot{+}$ :

我们定义 $x\dot{+}y$ 为 $x+y$ 除以 $p$ 后的余数。于是， $x\dot{+}y\in \mathbb{F}_p$ .

交换律： $x\dot{+}y=y\dot{+}x \quad \forall x,y\in \mathbb{F}_p$ ,

结合律： $(x\dot{+}y)\dot{+}z=x\dot{+}(y\dot{+}z) \quad \forall x,y,z\in \mathbb{F}_p$

有单位元： $x\dot{+}0=x\quad \forall x\in \mathbb{F}_p$

可逆性：对于任意 $x\in \mathbb{F}_p$ , $(p-x)\dot{+}x=0$ .

例子三、设 $\mathbb{Q}^*$ 是非零的有理数构成的集合，对于一般的乘法，我们有

交换律： $x\times y=y\times x \quad \forall x,y\in\mathbb{Q}^*$ ,

结合律： $(x\times y)\times z=x\times (y\times z) \quad \forall x,y,z\in\mathbb{Q}^*$

有单位元： $x\times 1=x\quad \forall x\in\mathbb{Q}^*$

可逆性：对于任意 $x$ ,我们存在 $x^{-1}\in \mathbb{Q}^*$ 使得 $x^{-1}\times x=1$ .

在上面三个例子中，我们有一个集合 $G$ ，和一个「运算」 $\oplus$ , 这个运算就是一个从 $G\times G$ 到 $G$ 的映射（ $x\oplus y=f(x,y)$ ）。这个映射具有对称性，满足结合律。存在一个单位元 $e$ ，使得

$f(e,x)=x$ 。对于任意 $x\in G$ ,存在 $y\in G$ 使得 $f(x,y)=e$ .

综合起来，我们有：

定义：设 $G$ 是一个集合， $\oplus:G\times G\to G$ 是一个二元运算。假设下面四个条件成立，我们称 $(G,\oplus)$ 是一个交换群。

交换律： $x\oplus y=y\oplus x \quad \forall x,y\in G$ ,

结合律： $(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z) \quad \forall x,y,z\in G$

有单位元：存在一个元素 $e$ 使得 $x\oplus e=x\quad \forall x\in G$ ，我们称之为单位元。

可逆性：对于任意 $x$ ,我们存在 $y\in G$ 使得 $x\oplus y=e$ ，这个元素叫逆元。

显然，上面三个例子都是交换群。交换群中的单位元是唯一的，设 $e',e$ 是两个单位元，根据两者都是单位元，我们可得 $e'\oplus e=e'\quad e\oplus e'=e$ .根据交换律，我们有 $e'=e'\oplus e=e \oplus e'=e$ 。所以它们是一样的。

注意，我们在说群的时候是把「集合」 $G$ 和「运算」 $\oplus$ 放在一起讲的, 你绝对不能脱离运算谈群，你得指定那个运算（除非是显然的）。

例子四、我们上面的例子中元素都是「数」构成的，但是群可以由任意元素构成，重点是你得指定运算，那些运算符合「条件」即可。设集合

$G=\{正,负\}$

我们发现它有两个元素构成，一个叫「正」，一个叫「负」，我们定义一个二元运算

$\boxplus:G\times G \to G$

如下

$正\boxplus正=正$ $负\boxplus 正=正\boxplus 负=负$ $负\boxplus 负=正$ 。（这就是我们的定义，别问为什么）

我们可以发现这个运算满足交互率，而且「正」是 $G$ 中的单位元（其他元素计算和它计算后不变）。「正」的逆元素是「正」，「负」的逆元素也是「负」。于是， $(G,\boxplus)$ 构成一个交换群。

这个「群」有什么启示。

群中的元素不一定是一般的数，可以是很一般的元素。
群上「运算」不一定需要是传统的数的四则运算，而可以是相当「任意」的东西。

那么这个群没啥意义吗？不是的，它其实其实正负数相乘后的结果。正正得正，负负得正。

好，我们现在考虑群 $(\mathbb{F}_2,\dot{+})$ ，你可以发现在这个群中

$1\dot{+}1=0 \quad 0\dot{+}1=0\dot{+}1=1\quad 0\dot{+}0=0$ .

是不是和上面的 $(G,\boxplus)$ 很像？

如果我们构造映射 $F:G\mapsto \mathbb{F}_2$ 使得

$F(正)=0$ ， $F(负)=1$ 。

不难发现

$F(x\boxplus y)=F(x)\dot{+} F(y)\quad \forall x,y\in G$

也就是说 $(G,\boxplus )$ 和 $(\mathbb{F}_2,\dot{+})$ 这两个群是同样的结构，它们本质上一回事。也就是说，我们可以把正看成0，负是1， $\boxplus$ 是 $\dot{+}$ 。也就是说，要研究 $(G,\boxplus )$ 只要研究 $(\mathbb{F}_2,\dot{+})$ 就好了。

二、域的定义和基本性质

现在，我们定义这个文章的主角：域。它的定义方式有很多种，可以通过「交换环」或者「除环」的方式定义。这里，我们通过一个较为简单的方式定义。

定义(Artin)： 设集合 $F$ 上有两个二元运算，它们「叫做」加法 $+$ 和乘法 $\times$ 。如果下面三个条件成立， $（F,+,\times）$ 叫做域。

1, $F$ 相对于二元运算 $+$ 是一个交换群，我们称呼群 $(F,+)$ 中的单位元叫零元素，写作0.

2, $F$ 对于乘法是可交换的，并且 $F-\{0\}$ ,(也就是 $F$ 去掉零元素)，相对于二元运算 $\times$ 构成一个交换群，我们称呼交换群 $(F-\{0\},\times)$ 中的单位元叫一元素，写作1.

3,两个二元运算满足分配律，也就是对于任意 $x,y,z\in F$ ,

$z\times (x+y)=z\times x+z\times y$

首先，一个域中的加法和乘法不是「真正」的加法和乘法，只是一种方便区分的叫法罢了。

第二，在域上，我们可以自然的定义减法和除法，对于任意 $a\in F$ , 我们可以用 $-a$ 表示 $a$ 在群 $(F,+)$ 中的逆元，那么我们定义减法 $b-a:=b+(-a)$ 。类似的，对于任意 $a\in F-\{0\}$ , 我们用 $a^{-1}$ 表示 $a$ 群 $(F-\{0\},\times)$ 中的逆元，我们定义除法 $b/a:=b\times a^{-1}$ .

第三，对于任意 $x\in F$ , $0\times x=x\times 0=0$ 。

根据交换性，我们只需要证明 $x\times 0=0$ 即可。实际上，根据分配律和 $1+0=1$ ，我们发现

$x\times 1=x\times (1+0)=x\times 1+x\times 0$ ，两边减去 $x$ 即可发现 $x\times 0=0$ .

第四（ $F$ 上的乘法结合律）：根据定义，我们知道结合律在 $F-\{0\}$ 上的成立的，那么在 $F$ 它成立吗？我们只需要证明当 $a,b,c$ 中某个为0的时候，

$a\times (b\times c)=(a\times b)\times c$

成立。根据上面的结果三，上面等式两端都是0。

第五（消去律成立）：如果 $a\neq 0$ , 那么 $a\times b=a\times c\implies b=c$ . 两边呈上 $a^{-1}$ ,于是我们有

$a^{-1}\times a \times b=a^{-1}\times a\times c$ .

利用第四点中得到结合律，我们发现

$b=(a^{-1}\times a) \times b=(a^{-1}\times a)\times c=c$ .

三、域的例子

数域的平凡例子包括

1.有理数 $(\mathbb{Q},+\times)$ 和一般的加法和乘法构成的域。

2.实数 $(\mathbb{R},+\times)$ 和一般的加法和乘法构成的域。

3. 复数 $(\mathbb{C},+\times)$ 和一般复数上的加法和乘法构成的域

一个比较有趣的例子 $\mathbb{F}_p:=\{0,1,2,\cdots,p-1\}$ ，我们在上面定义「取余数」的加法和乘法，

也就是说 $x\dot{+}y$ 和 $x\dot{\times}y$ 分别是 $x+y$ 以及 $x\times y$ 后除 $p$ 的余数。

我们上面已经证明过关于加法 $\dot{+}$ ， $\mathbb{F}_p$ 是一个交换群。

另一方面，按照定义，我们知道交换律 $x\dot{\times}y=y\dot{\times}x$ 成立，我们得证明

$( \mathbb{F}_p-\{0\},\dot{\times})$ 确实能构成一个交换群，首先 $1$ 是其中的单位元。结合律也是显然成立的，难点在于对于任意 $x\in \mathbb{F}_p-\{0\}$ , 是否存在一个元素 $y$ 使得 $xy$ 除以 $p$ 的余数为1. 这里我们需要利用一下费尔马小定理：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86

利用它我们知道，对于 $x^{p-1}$ 除以 $p$ 的余数为1。所以，我们只需要找 $x^{p-2}$ 在 $\mathbb{F}_p$ 中的余数即可，确切的说， $p\mid x^{p-2}-y$ 。因此，我们有 $p\mid x^{p-1}-xy$ 。因为 $x^{p-1}$ 除以 $p$ 的余数为1，所以 $xy$ 除以 $p$ 的余数为1.

所以 $( \mathbb{F}_p,\dot{+},\dot{\times})$ 是一个域。

还有一个例子是

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2};a,b\in \mathbb{Q}\}$ ,

上面的运算就是一般的加法和乘法。

就好像群论不限定于「数」一样，一般的「集合」上也能定义域。

设 $F=\{A,B,I,O\}$ , 我们定义如下加法和乘法，也就是两个字母的运算结果

就是对应字母横纵的交叉点的字母。

作为习题，大家可以试试看能不能看出来它 $(F,+,\cdot)$ 构成一个域。

四、有序域

我们知道实数和有理数不单单可以四则运算，也可以比较「大小」。在数学上所谓的比大小，本质上就是一个「序结构」。

一个集合 $S$ 上的全序是一个（二元）关系 $\prec$ , 它满足下面两个条件

1，任意 $x,y\in S$ , 下面三个关系

$x\prec y \quad x=y \quad y\prec x$

必然有一个成立。

2, 如果 $x\prec y$ , $y\prec z$ 成立，那么 $x\prec z$ 成立。

我们称呼 $(S,\prec)$ 是全序集。

我们举一个例子， $S=\{A,B,C\}$ , 我们规定 $A\prec B\prec C$ , 那么 $(S,\prec)$ 构成一个全序集。

反过来，我们规定 $C\prec B\prec A$ ,那么 $(S,\prec)$ 也构成一个全序集。

定义：有序域 $(F,\times,+,\prec)$ 是具有全序结构的域，而且我们要求它满足下面两个（相容性）条件

如果 $x\prec y$ , 那么 $x+z\prec y+z$ 必然成立.

2.如果 $0\prec y,\, 0\prec x$ , 那么 $0\prec xy$ 必然成立.

显然 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{R}$ 都构成一个有序域。

一个有趣的结果是带序数域必须有无限个元素，否则我们设 $M$ 是 $(F,\times,+,\prec)$ 的最大元素。

根据 $M$ 最大，我们有 $0\prec M$ , 因此 $M\prec M+M$ . 这是矛盾，因为 $M+M$ 比最大元素 $M$ 更大。所以，我们上面构造的有限数域 $\mathbb{F}_p$ 不可能变成一个有序域。

单纯的具有序结构的数域自然未必是「带序数域」了，比如 $\mathbb{F}_p$ ，我们自然可以定义

$0\prec 1\prec 2\prec\cdots \prec p-1$ ,

但是这个全序结构不满足上面两个相容性条件。

带序数域是及其稀少的，比如复数就不可能是一个有序域。

我们用反证法来证明这点，假设存在某个全序结构 $\prec$ 使得 $\mathbb{C}$ 变成一个有序域。

第一步，我们证明 $-1\prec 0$ . 否则的话，我们设 $0\prec -1$ , 于是我们有 $0\prec (-1)(-1)=1$ . 但是根据 $0\prec -1$ ，我们两边加一可得 $1\prec 0$ . 矛盾。

第二步，我们证明 $i\prec 0$ .否则的话，我们有 $0\prec i$ , 然后我们可得 $0\prec i\times i=-1$ . 这和第一步矛盾，于是可知 $i\prec 0$ 。

第三步，我们证明 $-i\prec 0$ . 否则的话，我们有 $0\prec -i$ , 然后我们可得 $0\prec (-i)\times (-i)=-1$ .这和第一步矛盾，于是可知 $-i\prec 0$ 。

第四步，我们发现第二步和第三步是矛盾的，因为如果第三步成立，那么通过 $i\prec 0$ 两边加上 $-i$ , 那么 $0\prec -i$ , 和第四步矛盾。

综合以上所知，复数就不可能是一个有序域。

五、总结

群、域和有序域是传统的乘法、加法和大小关系的推广，这种定义允许我们在一般的元素集合上定义类似于传统乘法/加法的运算。我们发现即使只需要一些抽象的定义，也能得到丰富的结果，这种抽象能够让我们去忘记肤浅的表象，只是通过抽象化得到了更清晰的结果。

在实际物理学的研究中，很多物理上的行为也被对应为某种群/数域结构。在历史上，数域一个经典运用就是处理一般5次方程是否存在(基于常数的)通解的问题，还有一个运用就是处理实数问题，这也是我会在Live中仔细论述的内容。

回到实际构造「数」的问题，数学追求一种简洁美，也就是用尽量少的假设和公理推出尽量多的结论。对于我们常见的数，其实根本公理是皮亚诺公理（和集合论），它允许我们定义「自然数」，然后我们利用自然数构造出恰当的交换群「整数」，本身带有序结构。在整数的基础上我们再利用它们构造出一个带序域有理数，构造实数核心在于找到恰当的「元素」和「运算」，基于「有理数」从而构造出一个「恰当」的有序域。而这个也就是live的核心了。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：dhchen

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一、交换群

二、域的定义和基本性质

三、域的例子

四、有序域

五、 总结

五、总结