鞅(Martingale)在现代算子理论当中的作用？

谢邀，我简略回答一下好了。Martingle是研究一种叫UMD的特殊Banach空间以及一般傅立叶乘子的重要工具。当然了，它的作用不止于此。

学过调和分析的人都知道傅立叶乘子是最重要的一类算子，研究它的结果也可以是说调和分析中最基础最重要的结果。设 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n;\mathbb{C})$ 是一个速降空间, 对于 $m:\mathbb{R}^n\backslash\{0\}\to \mathbb{C}$ , 我们可以定义

$m(D)f=\mathcal{F}^{-1}( m(\xi)\mathcal{F}({f})(\xi))$ .

其中 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{F}^{-1}$ 是傅立叶变换和逆变换。一个经典的问题是什么时候 $m(D)$ 是 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 上的有界线性算子。经典的Mihlin结果是，如果对于任意 $0\leq |\alpha|\leq \lfloor n/2\rfloor$ , 估计 $|\partial^\alpha m(\xi)|\lesssim |\xi|^{-|\alpha|} (\forall\,\xi\neq 0)$ 成立。那么 $m(D)$ 可以（延拓）为一个 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 上的算子。其中最经典的傅立叶乘子是希尔伯特变换。也就是 $n=1$ 的时候，我们定义希尔伯特变换 $H$ 是和 $m=-i \text{sign}(\xi)$ 对应的傅立叶乘子。

一个自然的问题，这个结果能不能推广到一般的Banach空间上。也就是说考虑 $L^p(\mathbb{R}^n;X)$ 上的傅立叶乘子：

$m(D)f=\mathcal{F}^{-1}( m(\xi)\mathcal{F}({f})(\xi))$

这里 $f$ 上从 $\mathbb{R}^n$ 到 $X$ 的函数， $m:\mathbb{R}^n\backslash\{0\}\to \mathcal{L}(X,Y)$ , 傅立叶变换也是 $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n;X)$ ( $\mathcal{S}(\mathbb{R}^n;Y)$ )上的。用和 $X=\mathbb{C}$ 类似的方法我们非常容易证明对于 $X$ 是希尔伯特空间，原来的结果是一样成立的。比较大的问题是，怎么推广到一般的空间上。我们可以发现不是所有Banach空间上Mihlin结果都成立的。

于是回到了开头，数学家发现UMD是就是那个我们想要的特殊Banach空间。具体定义很复杂，如下所示。

其中的 $df_n=f_n-f_{n-1}$ , 叫做Martingale difference，也就是鞅差。这个定义说白了就是「任意鞅差都是无条件收敛的」。我们不难发现，这是一个比较纯粹的概率论定义的性质。有趣的结果是，可以证明它等价于 $L^p(\mathbb{R};X)$ 中希尔伯特变换 $H$ 是有界的, 这是一个非常深刻的结果，也是鞅论，特别是鞅变换的重要性的体现。

然后数学家证明的思路就是变成了如何用 $H$ 凑出一般的傅立叶乘子 $m(D)$ 。凑的思路是这样的，从希尔伯特变换的有界我们可以得到区间上简单函数对应的 $1_{[a,b)}(D)$ 傅立叶算子的有界性, 特别的，我们可以定义算子

$S_j = 1_{ 2^j\leq |t|< 2^{j+1}}(D)$

是有界的，我们还能利用鞅变换及其理论证明如下的 Paley-Littlewood分解: 对于任意 $1<p<+\infty$ ,
$(\int_0^1\|\sum_{j\in \mathbb{Z}} r_i(u) S_i f\|^p_{L^p(\mathbb{R};X)} du)^{1/p} \sim \|f\|_{L^p(\mathbb{R};X)}$ ，
其中 $r_j:[0,1]\to \{-1,1\}$ 是Rademacher函数，这个分解的意义在于我们要研究 $f$ 只需要研究
$\sum_{j\in \mathbb{Z}} r_i(u) S_i f$ 即可，虽然后者看起来更复杂，其实研究起来更方便。于是我们要研究 $m(D)$ 就变成了研究其截断函数 $m(\xi) 1_{ 2^j\leq |t|< 2^{j+1}}$ 的性质。后者就能还原为希尔伯特变换 $H$ 的某些性质。然后，我们就能得到一维的Mihlin定理。类似的，可以证明高维的情况下的Mihlin定理。值得一提的是，里面还涉及到用 $\mathcal{R}$ -bounded这个概念替换一般的「有界性」。

就这方面具体的参考文献如下：

一套书： Analysis in Banach spaces 3卷

一个note：Maximal Lp-regularity for Parabolic Equations, Fourier Multiplier Theorems and $H^\infty$ -functional Calculus
这个两个的作者方面请认准 L. Weis这个人。你也可以看 Robert Denk, Matthias Hieber, Jan Pruss的讲义：R-Boundedness, Fourier Multipliers, and Problems of Elliptic and Parabolic Type。
至于前提提到的内容是标准的调和分析内容，你可以看stein等书。但是我提到的Mihlin的限制条件略弱，这个结果不是所有书上都有。你可以看郝成春的「调和分析讲义」。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：dhchen

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