有限元中的Lagrange插值与Gauss积分

闪, 新闻 • 2018年6月9日

Lagrange插值与Gauss积分是在学习FEM中不可回避的两部分，虽然说是两部分，其实在Gauss积分中，构造多项式的被积函数时，也用到了Lagrange插值多项式，所以在讲关于参数单元刚度矩阵求积分的时候，在数值积分中一起提出。

$\int_{a}^{b} f(x)dx\approx\int_{a}^{b} P(x)dx$

以上表达式是说，对于一个比较难以积分的函数f，我们找到了一个与之相似度很高的多项式函数P，用P的积分来代替f的积分，那么现在的问题就是如何找到多项式P。

那么，先看第一种关于Newton-Cotes数值积分：

Lagrange插值的定义

如果已知n个点的数值，那么可以构造一个n-1阶的多项式，通过待定系数的方式，使得这个多项式在这n个点的值就等于原本函数在这n个点的数值，关于待定系数的求解，如下：

$a_{0}+a_{1}x_{1}^{}+a_{2}x_{1}^{2}+a_{3}x_{1}^{3}+...+a_{n-1}x_{1}^{n-1}=f(x_{1})$

$a_{0}+a_{1}x_{2}^{}+a_{2}x_{2}^{2}+a_{3}x_{2}^{3}+...+a_{n-1}x_{2}^{n-1}=f(x_{2})$

$... ...$

$a_{0}+a_{1}x_{n}^{}+a_{2}x_{n}^{2}+a_{3}x_{n}^{3}+...+a_{n-1}x_{n}^{n-1}=f(x_{n})$

用矩阵表示这个线性方程组：

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & ... & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & ... & x_{2}^{n-1} \\ ... & ... & ...&...&... \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & ... & x_{n}^{n-1} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{0} \\ a_{1} \\ ... \\ a_{n-1} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} f(x_{1}) \\ f(x_{2}) \\ ... \\ f(x_{n}) \\ \end{array} \right)$

这里我用一个二次多项式来举例吧，给出三个已知点:

$(x_1,y_1)；(x_2,y_2)；(x_3,y_3)$

二次多项式为： $y=a_0+a_1x+a_2x^2$

将三个点带入二次多项式来确定系数，得到的线性方程组为：

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2}\\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ \end{array} \right)$

系数矩阵A明显是一个范德蒙矩阵，范德蒙矩阵是可逆的，因此，我们可以直接通过克莱姆法则来求解系数向量，得到系数向量以后，把每一个系数写成纵坐标y的线性组合，我直接给出我计算的结果，并且只保留y_1的系数：

$a_0 =x_2·x_3·(x_3-x_2)·y_1+...$

$a_1=(x_2-x_3)·(x_2+x_3)·y_1+...$

$a_2=(x_3-x_2)·y_1+...$

另外系数矩阵，即范德蒙行列式的值为：

$D=(x_3-x_2)·(x_3-x_1)·(x_2-x_1)$

现在可以得到y的表达式：

$y=\frac{x_2·x_3·(x_3-x_2)+(x_2-x_3)·(x_2+x_3)·x+(x_3-x_2)·x²}{(x_3-x_2)·(x_3-x_1)·(x_2-x_1)} y_1+...$

$y=\frac{x_2·x_3-(x_2+x_3)·x+x²}{(x_3-x_1)·(x_2-x_1)} y_1+...$

$y=\frac{(x-x_2)·(x-x_3)}{(x_1-x_3)·(x_1-x_2)} y_1+.\frac{(x-x_1)·(x-x_3)}{(x_2-x_3)·(x_2-x_1)} y_2+\frac{(x-x_1)·(x-x_2)}{(x_3-x_1)·(x_3-x_2)} y_3$

接下来，记：

$f_1(x)=\frac{(x-x_2)·(x-x_3)}{(x_1-x_3)·(x_1-x_2)}$

$f_2(x)=\frac{(x-x_1)·(x-x_3)}{(x_2-x_3)·(x_2-x_1)}$

$f_3(x)=\frac{(x-x_1)·(x-x_2)}{(x_3-x_1)·(x_3-x_2)}$

则： $y=f_1(x)·y_1+f_2(x)·y_2+f_3(x)·y_3$

可以容易的看出：

$f_i(x_j)=\delta_{ij}$ ，这个意思就是说，在某一个带入值的点，比如点1，f2与f3都取0，而f1则取1，所以，在所有带入值的点，多项式插值的结果与原来函数的值是相等的。

这就是Lagrange插值，最后给一个一般性的表达式：

$P(x)=\sum_{n}^{i=1}[{\prod_{j=1(i\ne j)}^{n}}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}·y_i]$

那么，Newton-Cotes数值积分也就顺理成章的被引出了：

Newton-Cotes数值积分将原积分转化为权函数与原函数值的线性组合

然后，就是FEM里常用的Gauss积分了：

首先谈一下我的理解，上面的Newton-Cotes数值积分，是将一个函数转换为一个多项式，采用的多项式是Lagrange插值多项式，采用的n个点没有特殊的要求，下面的Gauss积分，就是要对积分点进行确定，对积分点函数值得权函数同时进行确定。

Gauss积分的定义

可以看出，构造的高斯积分的函数虽然阶次提高到了2n-1，它的两项中的第一项仍然为n-1阶，并且就是之前的拉格朗日插值多项式，只是在后面添加了一个“辅助项”，辅助项在所有积分点处的值为零，其实为什么这么构造我是不清楚的，我是一个没学过数值分析的本科生，惭愧，但是毋庸置疑的是：

（1）整个多项式的阶次被提高到2n-1次，相比于牛顿积分更精确；

（2）利用上述的积分条件（共n个），可以用来确定n个积分点的位置。

确定积分点之后，再确定权函数

今天就写这么多吧，作为参数单元内容的补充。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：QuYln

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