阿贝尔积分方程

挪威的短命天才数学家阿贝尔(1802 – 1829)大概是数学史上第一个认真考虑如何求解一个积分方程的数学家。考虑到积分方程的完整理论大概是到了二十世纪初的时候才由Vito Volterra(3 May 1860 – 11 October 1940)提出，而这些理论还是建立在泛函分析的基础上，所以阿贝尔的成就愈加显得引人注目。阿贝尔最著名的成就大概是在椭圆函数和代数上。代数上指的是阿贝尔第一个证明了一个一般的五次方程没有根式解。更具普适性的结果，就是五次及以上的方程没有根式解，要等到另一个短命天才数学家伽罗瓦去证明。这里不去探讨阿贝尔在椭圆函数和代数上的贡献，而只回顾一下阿贝尔在积分方程方面的贡献。

阿贝尔一开始要考虑的是这样的一个问题：

假设一个初始速度为零的质点沿着一条光滑的曲线在重力场中运动。该质点在重力场中下落高度为 $h$ . 如果给定曲线的形状，那么我们就可以用微积分的方法计算出质点沿着某条特定的曲线下降高度 $h$ 所需的时间 $T(h)$ . 阿贝尔考虑的是这个问题的反问题，就是如果质点下降高度 $h$ 所需的时间是已知的，那么如何确定这条曲线的形状？

积分方程很多时候就是为了求解反问题。例如，如果一个函数的傅里叶变换是已知的，如何去计算这个原函数？这就是一个反问题。后来的积分方程理论也是在计算反问题。积分方程通常都会有一个核函数。积分方程的问题通常是，已经知道了一个函数跟核函数的卷积，如何求出这个函数。如果用现代数学的语言来描述，这就相当于已知一个算子作用在一个函数上的结果，如何求出这个原函数。答案就是求出这个核函数或者算子的逆，把这个逆作用在已知的结果上，就得到了那个原函数。这个思路跟线性代数解方程求逆矩阵很像，于是就可以把函数类比做矢量，核函数或者算子类比做矩阵，卷积类比做矩阵与矢量的乘法。这里只是一个粗糙的类比。这种类比一旦严格化(例如如何计算一个函数的长度，或者叫范数，如何计算一个算子的逆，如何定义两个函数的夹角，如何计算函数的投影，如何对函数做正交基展开，如何保证求积分的时候不发散), 泛函分析就出现了。

说了一些题外话，这里重新回到阿贝尔的问题。为了求解这个问题，首先我们要把问题数学化。为此，我们首先要建立一个坐标系。假设这条曲线没有 kink，也就是对于任意一个纵坐标 $y$ ，我们有唯一的一个横坐标 $x$ . 于是这条未知的曲线就可以用一个方程来描述为:

$x = f(y)$

我们要计算质点沿着这条曲线下降高度 $h$ 所需时间。取质点最终的高度为零，于是初始时刻质点的纵坐标为 $y_{i} = h$ , 最终质点的纵坐标为 $y_{f} = 0$ . 期间任意时刻质点的纵坐标为 $y, 0 \le y \le h$ . 根据能量守恒定律，质点纵坐标为 $y$ 时它的速率为 $v = \sqrt{2g(h - y)}$ .

因为速率还可以写作(注意 $dy < 0$ ，因为质点一直在下落)

$v = \frac{ds}{dt} = \frac{\sqrt{dx^2 + dy^2}}{dt} = -\frac{\sqrt{1 + \Big(\frac{dx}{dy}\Big)^2}}{dt}dy$ ,

所以可以得到时间微分为

$dt = \frac{ds}{v} = -\frac{\sqrt{1 + \Big(\frac{dx}{dy}\Big)^2}dy}{\sqrt{2g(h-y)}}$

于是质点沿着曲线 $x = f(y)$ 从高度为 $h$ 降到高度为零所需的总时间为

$T(h) = \int_{0}^{T}dt = \int_{h}^{0}\frac{-\sqrt{1 + \Big(\frac{dx}{dy}\Big)^2}dy}{\sqrt{2h(h - y)}} = \int_{0}^{h}\frac{\sqrt{1 + \Big(\frac{dx}{dy}\Big)^2}dy}{\sqrt{2g(h-y)}}$ .

这是一个关于未知曲线 $x = f(y)$ 的积分方程。为了方便，可以定义一个函数

$\phi(y) = \frac{\sqrt{1 + \Big(\frac{dx}{dy} \Big)^2}}{\sqrt{2g}}$

于是阿贝尔积分方程可以写作

$T(h) = \int_{0}^{h}\frac{\phi(y)}{\sqrt{h - y}} dy$

这显然是拉普拉斯变换的卷积。可以将 $\frac{1}{\sqrt{h - y}}$ 理解为积分方程的核函数或者算子，核函数与未知函数 $\phi(y)$ 的卷积理解为算子与矢量的乘法。为了求解这个方程，我们需要做拉普拉斯变换:

$\hat{T}(p) = \int_{0}^{\infty}dhT(h)e^{-ph} \\= \int_{0}^{\infty}dhe^{-ph}\int_{0}^{h}dy\frac{\phi(y)}{\sqrt{h - y}} \\= \int_{0}^{\infty} \phi(y)dy \int_{y}^{\infty}dh e^{-ph} \frac{1}{\sqrt{ h - y}}\\ = \int_{0}^{\infty}dy\phi(y)e^{-py} \int_{0}^{\infty}dh e^{-ph}h^{-1/2}$