一、动机

磁流体,往往是描述等离子体的宏观运动,应用广泛。等离子体的运动,往往具有高速高温高导的性质,所以近三十年来迫切的希望能讲现实中大量存在的热现象,特别是热辐射,加入到磁流体的数值模拟模型中去。

我们知道,热量通过三种方式传递:传导、对流、辐射。那么,当我们面对数值模拟时,三大热量输运会变成怎么样的模型加入原来的模型呢:

  1. 热传导:内能的耗散不是最高效的。但是对于各向异性(anisotropic)的相对论情形的实现可以容易。
  2. 热对流:在流体方程组中自然包含了进去,但是需要很高的精确度
  3. 热辐射:一般由电子、光子及中微子等粒子作为媒介来实现热能的转移,但是这些粒子的行为更像是耗散(diffusion)或者流出(streaming)。往往,这些粒子除了运输能量,还带走了一部分动量。更为严肃的问题是粒子运动的时标远远小于流体的运动。——总而言之,辐射是非常复杂且困难的行为。

二、辐射的建模

下面我们以光辐射为例,即考虑光子的行为:

  1. 光子之间不发生碰撞collisionless
  2. 光子以光速行进

具体阐述collisionless:光子的性质不是局部的,local的,我们需要考虑全局所以光子的性质,不只是光子在空间中的分布,还有光子方向的分布。

由于,能量是守恒量,所以我们还是从能量出发,辐射的能量和什么有关系?

  • 肯定,第一是与空间位置和方向有关,哪里光子分布密度大,哪里光子照射密集,哪里辐射能高
  • 有空间就有时间,与t有关
  • 其次,是和频率有关,不同频率携带的能量不一样,频率越高,能量越高,定量来说就是 E = h v = \hbar \omega ,所以与频率 \nu 也有关
  • 最后,光子没有电荷、没有(rest)质量,所以都不影响。

我们使用光强intensity来描述辐射的大小,那这个量受什么更加根本的量控制呢:

  1. 光的三维空间分布 \bf r
  2. 三维方向分布 \bf n
  3. 频率 \nu
  4. 时间t

强度是能量的微分,这个大家肯定没问题

d E _ { \nu } = I _ { \nu } ( \mathbf { r } ,{ \mathbf { n } } ,\nu,t ) \cos \theta d \nu d a d \Omega d t

这里符号,是取光强首字母作为符号,记为 \mathbf{I}( \mathbf{r},\mathbf{n},\nu,t) ~~[\text{erg}~~\text{s}^{-1}\text{cm}^{-2}\text{Hz}^{-1}\text{sr}^{-1} ] ,后面是单位,光强由上面的量决定这件事情说明,光强是一个,六个空间自由度+1个时间自由度的量。

三、辐射输运方程

最简单的模型,在某个时间微元上,光子行为限制在某个固定方向上,光子进行自由的流动,那对于这个方向的光产生的辐射的变化,就受到光子流量的变化的直接影响:

文字来说:

单位时间里,辐射强度的变化——( \frac { \partial I _ { \nu } } { \partial t } )等于该方向上,辐射强度流的变化 - c \mathbf { n } \nabla I _ { \nu }

\frac{\partial I_\nu}{\partial t} + c\textbf{n} \nabla{I_\nu} = 0

下一步,模型加入新产生的辐射,和被吸收的辐射,所以辐射强度的变化,除了流入流出的净变化,还有新产生和被吸收的,我们写在右端:

\frac{\partial I_\nu}{\partial t} + c\textbf{n} \nabla{I_\nu} = c(J_\nu-k_\nu I_\nu)

右端:新产生的辐射 J _ { \nu } ,吸收系数 k_\nu

下面,加入从该方向散射,系数记为 \sigma_\nu 出去的,散射意味着该方向的能量耗散出去了

\frac { \partial I _ { \nu } } { c\partial t } + \mathbf { n } \nabla I _ { \nu } = J _ { \nu } - (k _ { \nu } +\sigma_\nu )I _ { \nu } +\sigma_\nu \bar{I}_\nu

注意,右边带一横的流量 \bar{I}_\nu ,意思为总的平均的光强,就是旁边方向散射回来的意思。

四、辐射强度矩 Radiation Intensity Moment

我们考虑单位方向向量 \textbf{n} 上的方位角 \Omega 的各级平均,即如下定义1、2、3阶 of 辐射 I_\nu

J_\nu =\frac{1}{4\pi} \int I_\nu \text{d}\Omega\\ \mathbf{H}_\nu =\frac{1}{4\pi} \int I_\nu \textbf{n} \text{d}\Omega\\ K_\nu =\frac{1}{4\pi} \int I_\nu \textbf{n}\textbf{n}\text{d}\Omega

对于能量、流量、压力在单位方向向量 \textbf{n} 上的方位角 \Omega 的平均,可以由单位方向向量 \textbf{n} 上的方位角 \Omega 的辐射强度 I_\nu 的1,2,3级平均得到

E_\nu =\frac{1}{c} \int I_\nu \text{d}\Omega\\ \mathbf{F}_\nu =\int I_\nu \textbf{n} \text{d}\Omega\\ P_\nu =\frac{1}{c} \int I_\nu \textbf{n}\textbf{n}\text{d}\Omega

考虑辐射输运方程: \frac { \partial I _ { \nu } } { c\partial t } + \mathbf { n } \nabla I _ { \nu } = J _ { \nu } - (k _ { \nu } +\sigma_\nu )I _ { \nu } +\sigma_\nu \bar{I}_\nu

如果假设光源光渊在各个方向角都是相同的,于是乎拆成矩的方差,得到:

\frac { \partial E _ { \nu } } { \partial t } + \nabla \mathbf{F}_ { \nu } = c(s_\nu - \sigma_\nu E_\nu)\\ \frac { \partial \mathbf{F}_ { \nu } } { c\partial t } + c^2 \nabla P _ { \nu } = -c \sigma_\nu \mathbf{F}_\nu

五、(频率平均)灰度估计 Gray Approximation

因为前面,我们都是固定频率 \nu 来分析时空与辐射的关系,现在我们来考虑辐射,我们讲辐射平均掉,这样的估计,叫做灰度估计 Gray Approximation,因为你把颜色混合起来就是灰色= =

(这里推导我还没搞懂,希望有人明白的能指点一下)

我们考虑黑体热辐射, I_\nu = B_\nu B就是普朗克公式

\frac { \partial I } { c\partial t } + \mathbf { n } \nabla I = \sigma_\alpha [B(T)-I]\\ \frac { \partial E } { \partial t } + \nabla \mathbf{F} = c(\sigma_\alpha aT^4- \sigma_E E)\\ \frac { \partial \mathbf{F} } { c\partial t } + c^2 \nabla P = -c \sigma_F \mathbf{F}

这里a=7.5657*10^-15

六、RMHD的控制方程

规定: \rho 密度, u 是速度,p 是热压力, σ_R 是Rosseland平均不透明度, F_r 是辐射通量,E是流体总能量 E =ρε+ 1/2ρu^2 (ε是流体自身特定的内能 ) σ_P 是普朗克不透明度, B = B(T) 是普朗克函数, E_r 是辐射能量, \mathbb { P } _ { r } 是辐射压力。 σ_RF_r / c 对物质产生辐射力,

质量守恒: \partial _ { t } \rho + \nabla [ \rho u ] \quad = 0

牛顿第二定律: \partial _ { t } \rho u + \nabla [ \rho u \otimes u + P I ] = \sigma _ { R } F _ { r } / c

气体能量守恒: \partial _ { t } E + \nabla [ u ( E + P ) ] = \sigma _ { R } F _ { r } / c \cdot u - \sigma _ { P } \left( 4\pi B - c E _ { r } \right)

辐射能量守恒: \partial _ { t } E _ { r } + \nabla \left[ u E _ { r } \right] = - \nabla \cdot F _ { r } - \mathbb { P } _ { r } : \nabla u + \sigma _ { P } \left( 4\pi B - C E _ { \text{r} } \right)

辐射流量守恒: \partial _ { t } F _ { \text{r} } + \nabla \left[ u F _ { r } \right] = - c ^ { 2} \nabla \cdot \mathbb { P } _ { \text{r} } - \left( F _ { \text{r} } \cdot \nabla \right) u - \sigma _ { \text{F} } c F _ { \text{r} }

(写得粗略了点,我会不断修改的)

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:知乎用户(登录查看详情)

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