目录:

量子场论(6)

量子场论(7)

第一部分小结

量子场论(8)

本次内容:给出与Wightman axioms与Locality axioms等价的Path integral axioms,简单讨论格点上场论的基本概念。

(基本概念就不再重复了,这里默认大家已经熟知物理上通常对路径积分的导出方法,即插入完备性条件对 \langle q|e^{-i\hat{H}t/\hbar} | q'\rangle 做变形,基本相当于Peskin的9.1与9.2节的内容或者任何一本量子力学教材中关于路径积分的内容。以及GTM267第20章的内容,即用Trotter product公式对酉算子群 U(t)=e^{-i\hat{H}t/ \hbar} 变形得到泛函积分的表达式,并利用解析延拓 t\to -it 转到欧几里得场论去定义Wiener measure。)

1,Path integral axioms:

之前的文章中 我们讨论了量子场论的Wightman axioms与Locality axioms,整个第一部分的思路就是按照Wightman axioms给出的,即我们考虑满足狭义相对性原理的单粒子态,然后对于多粒子问题考虑相应的Fock space,最后就可以很自然的得到Wightman axioms。同理,如果我们从量子系统满足光速不变原理出发,也可以在物理上很自然的得到Locality axioms。

而对于路径积分,我们也可以考虑类似的操作,从最基本的物理概念出发去构造这种表述,使得它在逻辑上看起来是非常自然的。但是,我不想在这里花费太多的时间。这里仅仅给出Path integral axioms的结果,它和其他两种表述是严格等价的。

为了方便讨论,我们对所要用到的符号做一些必要的说明:

test function的空间为: \mathscr{D}(R^d)=C^{\infty}_0(R^d)

相应的distribution对应的空间为: \mathscr{D}^*(R^d) ,这在物理上对应路径 q 或场量 \phi 存在的空间,

\mathscr{D}^*(R^d) 上的Feynman-Kac measure: d\mu

Fock space及其稠密子空间: \mathscr{F}\mathscr{F}_0

在开始之前,我们需要下面这个重要的定理:设 S\left\{ f \right\}\mathscr{D}(R^d) 上的泛函,且满足如下三个条件:

(1)若 f_n\to f \in \mathscr{D}(R^d) ,则:S\left\{ f_n \right\}\to S\left\{ f \right\}

(2)对任意 f_i\in \mathscr{D}(R^d),c_i\in C\sum \bar{c}_ic_jS\left\{ f_i-\bar{f}_j \right\}\geq0

(3) S\left\{ 0 \right\}=1

则:存在唯一的 \mathscr{D}^*(R^d) 上的测度 d\mu(\phi) ,且满足: S\left\{ f \right\}=\int e^{i\phi(f)}d\mu(\phi)

可见,对应 d=1 的情况,场量 \phi 的空间 \mathscr{D}^*(R^d) 便简化为路径 q 的空间 \mathscr{D}^*(R^1) ,这里的 S\left\{ f \right\} 称为generating functional。下面我们给出Path integral axioms的具体内容:

公理(1):对任意 f_j\in\mathscr{D}(R^d)j=1,2,...,N ,和矢量 z=(z_1,..,z_n)\in C^Nz\to S\left\{\sum_{j=1}^{N}z_jf_j \right\}C^N 上的函数。这也就是要求,测度 d\mu 要衰减的比任何指数都快。

注:如果测度 d\mu 满足公理(1),那么我们就可以得到如下重要推论:存在distribution S_n(x_1,...,x_n)\in\mathscr{D}^*(R^d) ,使得: \int \phi(f_1)... \phi(f_n)d\mu=\int S(x_1,...,x_n)\prod_{i=1}^{n}f_i(x_i)dx 。这里的 S_n(x_1,...,x_n)\in\mathscr{D}^*(R^d) 就是所谓的Schwinger函数。

公理(2): S\left\{ f\right\} 对于 1\leq p \leq2 ,以及常数 c ,满足: \left| S\left\{ f \right\} \right|\leq exp c \left( \left|\left| f\right|\right| _{L^1}+ \left| \left| f \right| \right|_{L^p}^p \right)

注:这里若 p=2 ,这个公理的存在是为了保证两点编时格林函数的存在,其只有在 x=y 时才存在唯一奇点。而且,如果 S\left\{ f \right\} 满足公理(2),我们还可以得到Schwinger函数 S_n\in L^1(R^{nd})

公理(3): S\left\{ f \right\} 在欧式变换下具有不变性,即: S\left\{ Ef \right\}=S\left\{ f \right\} ,等价的测度 d\mu 具有不变性,即: d\mu=Ed\mu 。这条公理不用多说,它对应着闵氏时空中的场论具有洛伦兹对称性。

公理(4):为了方便起见,在讨论这条公理之前,我们需要先做一些准备。

定义集合: \mathscr{A}=\left\{ A(\phi)=\sum_{j=1}^{N}c_jexp(\phi(f_j)),c_j\in C,f_j\in \mathscr{D} \right\} ,很显然,其中元素是映射 \mathscr{D}^*(R^d) \to C 。记 R^d_{+}=\left\{ \mathbf{x},t;t>0 \right\} ,若将 \mathscr{A} 中元素限制为: f_j\in C_0(R^d_+) ,我们可以得到子集 \mathscr{A}_+\subset\mathscr{A} 。由此,公理(4)的具体内容为:在时间反演 T:(\mathbf{x},t)\to (\mathbf{x},-t) 下有: \left( TA,A \right)_{L^2}\geq 0 ,等价的,矩阵 M_{ij}=S\left\{f_i-Tf_j \right\} 是正定的。

注:利用这条公理我们可以构造出我们熟悉的多粒子态Hilbert space \mathscr{F} ,具体步骤如下:集合 \mathscr{A} 的包闭为: \varepsilon=L^2(\mathscr{D}^*(R^d),d\mu) ,相应的我们可以定义 \varepsilon_+ 对应 \varepsilon 中由 \mathscr{A}_+ 中元素张成的集合。定义 \mathscr{N}\varepsilon_+ 中满足 \left( TA,B \right)_\varepsilon=0 的矢量的集合。由此我们可以定义商集 \mathscr{F}=\varepsilon_+/\mathscr{N} 就是我们之前熟悉的多粒子Hilbert space。

公理(5):对于函数 A(\phi)\in L^1 ,满足: \lim_{t \rightarrow \infty}\frac{1}{t}\int_0^t T(s)A(\phi )T(s)^{-1}ds=\int A(\phi) d\mu(\phi),这等价于 T(s) 具有遍历性。它的物理意义在于,这里的遍历性假设可以唯一的确定 \mathscr{F} 中的vacuum | \Omega \rangle

数学上可以严格给出,如果测度 d\mu 满足以上几个基本假设,那么等价的我们就可以给出Wightman axioms与Locality axioms,具体细节可以参考quantum physics a functional integral point of view的第19章。

2,格点上的场论:

现在考虑一种可以避开泛函分析中诸多结论的处理方法,我们随便观察一个生成泛函 Z[J]=\int exp\left[i\int d^4x (\mathscr{L}+J\phi) \right]D\phi 的表达式就容易发现,关于量子场论(量子力学)中的路径积分理论,必定会牵扯到很多泛函分析中的结论和概念,因为它牵扯的无穷维函数空间上的积分。这里一个不错的办法是在这里引入格点正规化,一来我们可以避开泛函分析中的结论,二来借此我们可以直接考虑正规化之后的场论。现在假设我们的场论并不定义在整个时空上,而是定义在有限范围时空中分立的格点上。设格点直接间距为 \varepsilon ,而时空区域的范围为 L 。当我们取 \varepsilon \to 0 时就可以得到有限时空上的连续场论;而取 L\to \infty 时就可以得到统计力学。

之前我们的场量 \phi 为时空上的函数,即 \phi:R^4\to R ,现在我们将其限制在格点上,记格点的集合为 \Gamma 其中一共有 N 个元素(对应时空上的 N 个格点)。这时的场量变为 \phi:\Gamma\to R ,很显然场量的集合 F=\left\{ \phi:\Gamma\to R \right\} 同构于 R^N 。无穷维函数空间上的积分是相对复杂的,但是格点上场量的积分就等价于 R^N 上的积分,这是我们再熟悉不过的东西。

我们熟悉的高斯积分的表达式为: \int_R e^{-\frac{a}{2}x^2+bx}dx=e^{\frac{b^2}{2a}}\sqrt{\frac{2\pi}{a}} , 现在考虑 R^N 上的高斯积分公式, \int e^{-\frac{1}{2}(\phi,A\phi)+(J,\phi)}d^N\phi=det(2\pi C)^{\frac{1}{2}} 。其中, A 为对称正定实矩阵, C=A^{-1}J,\phi\in R^N ,括号表示 R^N 上的内积。借此,我们可以定义 R^N 上的高斯测度为: d\mu_C(\phi)=(det2\pi C)^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(\phi,C^{-1}\phi)}d^N\phi\int d\mu_C(\phi)=1

借此,我们可以给出格点上的生产泛函: Z[J]=\int D_\Gamma \phi e^{-S_\Gamma (\phi)+(J,\phi)_{\Gamma}} ,其中: D_{\Gamma}=\prod_{x\in \Gamma}d\phi(x) 。着很显然就是 R^N 上的一个积分表达式,剩下的操作就是我们高数中熟悉的操作。相应的n点关联函数可以表示为: \left[\frac{1}{Z[J]}\frac{\delta^n}{\delta J (x_1)...\delta J (x_n)}Z[J] \right]_{J=0} ;而相应力学量的真空期望值可以表示为: \frac{1}{Z[0]}\int D_{\Gamma}\phi e^{-S_\Gamma}O(\phi) ,其中 \frac{\delta}{\delta J(x)}=\varepsilon^{-d}\frac{\partial}{\partial J(x)}

考虑 \phi^4 理论中路径积分的微扰展开 \int d\mu(\phi)e^{\lambda\int_{\Gamma}\phi(x)^4dx}=1+\lambda\int_{\Gamma}dx\int d\mu(\phi)\phi(x)^4+\cdot\cdot\cdot ,很显然,其中 \int d\mu(\phi)\phi(x)^4=3D_{\Gamma}(x,x)^2 ,这里 \varepsilon \to0D_{\Gamma}(x,x) 变为通常连续场论中的传播子,而传播子唯一的起点就在 x=y 处,很显然路径积分中的微扰展开在极限 \varepsilon \to0 也是发散的。一种避免发散的做法是引入Wick ordering 例如: :\phi(x)^2:=\phi(x)^2-D_{\Gamma}(x,x) ,当然,对于 d>2 的情况,Wick ordering无法避免所有发散,这里的另一种方法就是去引入重整化来避免发散。

(图侵删)

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:萨塔妮亚

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