在介质-光相互作用系统中,介质的耗散性质,才是导致复数折射率的关键。


关于题主的问题,我想在其他的答主以及其引用中可以得到详尽的答复了。但我想,作为一个学物理的,总要讲一讲”物”理吧。首先我们咬文嚼字,并先给出结论:复数折射率包括四个部分,正实部是正常折射,负实部是反常折射;正虚部是能量增益;负虚部是能量耗散,在这里我们只讨论负虚部,其他的情况可以参阅[2]。

众所周知,无论是电动力学还是光学,对介质的处理都是尽可能的唯象;

在冰冰 @白如冰 的答案中,我们默认了导体Maxwell方程,由此从Maxwell方程预言了广义极化率可以是复数;这里,我们考虑到为了保证Maxwell方程的形式不变,定义了广义电极化率。

在 q神@qfzklm 的答案中,我们考虑到线性微分方程形式解的性质,预言了广义极化率可以是复数;这里,我们考虑到形式解的形式不变性,定义了广义波矢量,进而得到了广义极化率。

得到了广义极化率之后,得到折射率的过程是显然的。


在这里,我们通过考虑一些更加”基本的“物理事实去讨论为什么折射率可以是复数(甚至可以是纯的负实数等等);即我们定义广义极化率是物质——光相互作用的线性响应理论给出的:

\[P\left( {z,t} \right) = {\varepsilon _0}\int_0^\infty {d\tau \tilde \chi \left( \tau \right)E\left( {z,t - \tau } \right)} \]

这个定义在很多领域都适用——我们在凝聚态物理中学到这个系数 \[\tilde \chi \left( \tau \right)\] 以及其傅里叶变换 \[\tilde \chi \left( \omega \right)\] 有一个很好听的名字叫做susceptibility,这是一类重要的可观测量。在光学、电动力学中,介质对电场的线性响应就是电极化率。

在量子力学中, P(z,t) 又和原子的密度矩阵元息息相关,从物质和场的演化,我们有一套自洽方法[1]去求解所谓的suspectibility,这往往依赖数值计算:

但从解析情况看来,从物质的角度,在假设光场是慢变的情况下,对于最简单的二能级原子,广义极化率一个显式的表达式是:

\[P\left( {z,t} \right) = \frac{{{\varepsilon _0}}}{2}{\cal E}\left[ {\chi \left( \omega \right){e^{ - i\left( {\omega t - kz} \right)}} + \chi \left( { - \omega } \right){e^{i\left( {\omega t - kz} \right)}}} \right] = \Omega {\rho _{ab}}\left( {z,t} \right) + c.c\]

\[\begin{array}{l} P\left( {z,t} \right) = \frac{{{\varepsilon _0}}}{2}{\cal E}\left[ {\chi \left( \omega \right){e^{ - i\left( {\omega t - kz} \right)}} + \chi \left( { - \omega } \right){e^{i\left( {\omega t - kz} \right)}}} \right] = \Omega {\rho _{ab}}\left( {z,t} \right) + c.c\\ \chi \left( \omega \right) = \frac{{2\Omega }}{{{\varepsilon _0}{\cal E}}}{{\tilde \rho }_{ab}} \sim \left( {{\rho _{aa}},{\rho _{bb}}} \right) \end{array}\]

进而和跃迁算符的期待值有联系上:

\[\chi \sim \left\langle {\left| a \right\rangle \left\langle b \right|} \right\rangle \]

所有具体的推导在参考文献[1,2]中均有体现,具体的推导留给有兴趣的读者。

了解了我们物理学对物质——光相互作用系统的基本处理手段之后,我们回到题目,为什么折射率是复数

注意到,算符的期待值不一定是纯实数的,我们在量子力学中已经学到了,只有厄米(保守的)量子系统观测量的本征值才是实数,非厄米的(耗散的)系统观测量的本征值不一定是实数——因为原子系统是一个耗散系统,介质的耗散性质,才是导致复数折射率的关键。

援引参考文献[1]中的对于三能级系统某个特殊情况的结果:

\[\begin{array}{l} {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( \chi \right) \sim - \frac{\Delta }{{{\gamma ^2} + {\Delta ^2}}}\left[ {{\rho _{aa}}\left( 0 \right) - {\rho _{bb}}\left( 0 \right)} \right]\\ {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( \chi \right) \sim - \frac{\gamma }{{{\gamma ^2} + {\Delta ^2}}}\left[ {{\rho _{aa}}\left( 0 \right) - {\rho _{bb}}\left( 0 \right)} \right] \end{array}\]

其中 \Delta 是光频率和原子固有频率的差频, \gamma 是描述原子耗散的参数,显然地有\gamma \to 0,\text{Im}(\chi) \to 0

一般的三能级系统也有这个结果。

我们可以从经典理论重新认识这个事情,从冰冰的推导,导体就是典型的耗散介质;

而从Q神的推导中,导体的耗散已经全部唯象的引入倒了电场中——我们无法再回归物理本质了。


我们理应从更加广泛的统计力学来考虑这个问题,刚好我这个学期正在学习统计力学——按照统计力学线性响应理论的精神,susceptibility的虚部:

\[{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( \chi \right) \sim \pi \sum\limits_{a,b} {\frac{{{B_{ab}}{A_{ba}}}}{{{E_b} - {E_a} - \hbar \omega }}\left( {{n_a} - {n_b}} \right)\delta \left( {\hbar \omega - \left( {{E_b} - {E_a}} \right)} \right)} \]

其中被扰动的能级是分立的而且处于热平衡态[3], H'=-A\cos(\omega_0 t) ,显然,在没有耗散加持的情况下,当且仅仅当扰动频率和原子频率差相关,susceptibility才会出现虚部,对于绝大部分的扰动频率,susceptibility都是0。

而只有当我们唯象的引入一个系统的耗散 \Gamma_0

才有: \[\begin{array}{l} {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( \chi \right) \sim \pi \sum\limits_{a,b} {\frac{{{B_{ab}}{A_{ba}}}}{{{{\left( {{E_b} - {E_a} - \hbar \omega } \right)}^2} + \Gamma _{ab}^2}}\left( {{n_a} - {n_b}} \right)\delta \left( {\hbar \omega - \left( {{E_b} - {E_a}} \right)} \right) + \frac{{\hbar \omega }}{{{{\left( {\hbar \omega } \right)}^2} + \Gamma _{ab}^2}}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \chi \left( {el} \right)} \\ {\mathop{\rm Re}\nolimits} \chi \left( {el} \right) \sim \chi \left( 0 \right) \end{array}\]

于是,有了耗散的性质之后,任何频率下都会有一个虚部了。


我们还是给一个模拟吧。。。三能级体系的EIT的折射透射。。考虑的是是用刘维尔算符的稳态(进而体系是一个耗散体系)

[1]Quantum Optics, Marlan O. Scully, etc, Cambridge Press.

[2]Fast Light, Slow Light and Left-Handed Light, P W Milonni, IOP press.

[3]

https://www.fys.ku.dk/~jjensen/Book/echap3.pdf

[4]python code:

from qutip import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

u = basis(3,0)
g = basis(3,1)
e = basis(3,2)

sigma_ee = e*e.dag()
sigma_uu = u*u.dag()
sigma_gg = g*g.dag()
sigma_ue = u*e.dag()
sigma_ge = g*e.dag()

Delta_min = -3.0
Delta_max = 3.0
step = 300
Delta_list = np.linspace(Delta_min,Delta_max,step)

gamma_eu = 5
gamma_eg = 0.1
c_o = [np.sqrt(gamma_eg)*sigma_ge,np.sqrt(gamma_eu)*sigma_ue]
phi = 0
Omega1 = 0.1
Omega2 = 0.5

result = []
for Delta in Delta_list:
    H = -Delta*(sigma_ee-sigma_gg) + phi*(sigma_ee-sigma_uu)+ Omega1*(sigma_ge+sigma_ge.dag())+Omega2*(sigma_ue+sigma_ue.dag())
    rhoss = steadystate(H,c_o)
    result.append(expect(sigma_ge.dag(),rhoss))
fig,ax = plt.subplots()
plt.plot(Delta_list,[i.real for i in result],label = 'Real Part')
plt.plot(Delta_list,[i.imag for i in result],'-.',label = 'Imaginary Part')
plt.xlabel(r'\Delta')
plt.ylabel(r'\sigma_{ge}')
plt.legend()

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:浅斟低唱

【知乎日报】千万用户的选择,做朋友圈里的新鲜事分享大牛。
点击下载

此问题还有 15 个回答,查看全部。

毒镜头:老镜头、摄影器材资料库、老镜头样片、摄影