对于二维的霍尔体系,我们一直使用线性响应理论导出它的横向霍尔电导。但是对于其中的推导略显麻烦。所以我尝试从一种新的方法来做这个问题–Wilson loop。这个规范场的概念可以平行迁移到波函数的纤维丛上来,因为Berry phase就是波函数空间的联络。那么对于整个Bloch流行上纤维从的拓扑,Wilson loop可以很好地刻画。下面我们具体地谈一谈这个方法。

假设我们在二维体系的横向X方向加一个横向电场,由于绝缘体体态是有能隙的,电子趴在价带上,同时在动量空间沿着 k_x 方向做匀速运动, \frac{dk_x}{dt}=-eE 。这里我们已经采用自然单位制,同时为了讨论的方便,后面将要用到的晶格常数也趣为1。一个处在 |u_n(\vec{k})> 的电子,由于 k_x 的递增,当它在动量空间移动到 \vec{k}^\prime=(k_x+\Delta k_x,k_y) 的时候,在 \vec{k}^\prime 点的人看到的矢量必须要用当地世界的坐标系描述,也就是这个电子变成了 |u^\prime_n(\vec{k})>=\sum_{i}^{n_{occ}}|u_i(\vec{k}^\prime)><u_i(\vec{k}^\prime)|u_n(\vec{k}^\prime)>\tag{1}

其中 \sum_{i}^{n_{occ}}|u_i(\vec{k}^\prime)><u_i(\vec{k}^\prime)|=P(\vec{k}^\prime)\vec{k}^\prime 点占据态的投影算符, n_{occ} 是被占据能带的数量。对于 T^2 的BZ,当我们x方向的动量改变量为 2\pi 的时候,电子回到原点,但是这个时候,由于电子环游了整个布里渊区,电子的矢量并不一定与原先的矢量重合—-它们之间因此获得了一个夹角。我们来看看这个夹角是怎么形成的。我们把 \Delta t=\frac{2\pi}{{e}E} 这段时间穿过的路程 2\pi 分成 N>>1 段,那么波函数在每相邻两点之间的变化就满足平行移动的规律(Parallel Transport)。当电子走了一周后,回到自己当初的矢量空间,积累的作用使它变的不一样了。少小离家老大回,乡音无改鬓毛崔。我们把所有的遭遇都表示出来,

|u_n(\vec{k})>_{G_x}=\Pi_i^NP(k_N)P(k_{N-1})(\cdots)P(k_1))|u_n(\vec{k})>\tag{2}

这个所谓的旅途就是Wilson Loop,上面的连乘是它的离散表达式,当 N 取得无穷大时,它连续地表示为 W_x(\vec{k})=Pexp(-\int_{C_x}a_\mu(\vec{k}) dk_x^{{\mu}})P 是对路径排序, a_u(\vec{k}) 是Berry Phase。

在电子旅行之前,整个体系的极化矢量为 \vec{P}_0=\frac{1}{N_s}\sum_{i,\vec{k}}<u_i(\vec{k})|i\vec{\partial}|u_i(\vec{k})> ,旅行之后,整个体系极化矢量有所改变, \vec{P}=\frac{1}{N_s}\sum_{i,\vec{k}}<u_i(\vec{k})|W^\dagger_x(\vec{k})i\vec{\partial}(W_x(\vec{k})|u_i(\vec{k})>) 。 我们很容易得出这个差别 \Delta \vec{P},写成积分形式就是:

\Delta \vec P=\frac{i}{4\pi^2}\int_{-\pi}^\pi dk_x\int_{-\pi}^\pi dk_yTr(log(W_x(\vec{k})))\tag{3}

为此。可以讨论霍尔电导率了。

  • 纵向电导率为零

这是因为在做Wilson方向上,Wilson的谱和起点无关。因此它的本征值取对数的和亦不随这起点在 k_x 方向变化而变化。鉴于此,我们直接积点 k_x :\Delta \vec P=\frac{i}{2\pi}\int dk_y\vec{\partial}Tr(log(W_x(\vec k)))\tag{4}

  • 横向出现量子霍尔电导

上面已经讨论了 \Delta P_x 一直等于零,这是因为 \partial_x Det(W_x(\vec k))=0 。在 k_y 方向:

\Delta \vec P_y=\frac{i}{2\pi}\int dk_y\partial_yTr(log(W_x(\vec k)))\tag{5}

我们把 W_x(\vec k) 写开,(5)式变成:

\Delta \vec P_y=\frac{i}{4\pi^2}\int dk_ydk_x\partial_y\sum_i<u_i(\vec k)|\partial_x|u_i(\vec k)>\tag{6}

其中对 dk_y 我们可以取 k_y=\pm\pi 边界上的积分,由于这个系统满足 C_4 对称性,(6)数学上还有两条 k_x=\pm\pi 等价的积分。我们将(6)和它的 C_4 对称项合并,消除非边界项,就得到了这个体系的横向电流为:

\frac{\Delta P_y}{\Delta t}=E\frac{e^2}{2\pi}\frac{i}{2\pi}\oint Tr(a_\mu(\vec k))dk^\mu\tag{7}

其中E为电场, \frac{e^2}{2\pi} 为单位电导,陈数 C=\frac{i}{2\pi}\oint Tr(a_\mu(\vec k))dk^\mu 是一个整数。当且仅当时间反演对称性被破坏是,这个积分才有不为零的值。

由此我们看到,在绝缘体体态中,沿着某个方向的Wilson Loop实际上刻画了在这个方向法平面的边界流。在更高维的系统中,这个结论依然实用。要研究某个面的边界态只要研究对应方向上的Wilson Loop的性质即可。而Wilson Loop的本征谱,我们可以根据Hamiltonian的对称性加以限制,所以研究对称性对与Wilson Loop的关系,我们可以对拓扑绝缘体进行分类。

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:孙二

【知乎日报】千万用户的选择,做朋友圈里的新鲜事分享大牛。
点击下载

毒镜头:老镜头、摄影器材资料库、老镜头样片、摄影