先说Heisenberg model的隶玻色子(slave-boson)方法


这个方法现在成了一个泛指,甚至有时候压根不会出现玻色子算符,所以后来一些文章上出现了指明slave-XXX (如slave-rotor,slave-fermion)或者索性叫slave-particle方法。

这个方法涉及到一个这样的操作,它把系统的哈密顿量用一堆新的算符(由这些算符描述的粒子叫slave粒子)重写,结果原来的算符就被分解成这堆新算符的乘积或者多项式,然后重新构建一个Fock空间。一般这个新的Fock空间与原来算符的态空间相比会有冗余,然后我们可以通过投影算符来构造态的多对一的映射。

阻挫存在的时候,系统基态简并度极大,这些简并态张成的空间是hilbert空间的一个“角落空间”,低温时,系统不能冻结到一个态上,而是在这个简并态张成的“角落空间”里乱窜,显示出了磁无序性,物质形态是流动的,故此叫自旋液体。用现在的拓扑相理论去看这个物理图像的话,这个“角落空间”也可能分成若干个不能通过局域涨落互相tunnel的部分,这些区分了不同的量子液体相。

令人着迷的是,slave粒子会在退禁闭相下被激发出来,并通过冗余衍生的规范场互相作用着。我们先看看描述这个slave粒子的模型是怎么得出的。

对于反铁磁Heisenberg模型:

\bm{H_{AH}}=\sum_{<ij>}J\bm{S_{i}}\cdot \bm{S_{j}}, J> 0

对于上面哈密顿量,我们可以把自旋算符作以下分解(Schwinger-Fermion 方法):

S^{a}=f_{\alpha}^{\dagger}\sigma_{\alpha\beta}^{a}f_{\beta},\alpha,\beta=\uparrow or\downarrow,a=x,y,z

这其中 \sigma_{\alpha\beta}^{a}是pauli矩阵a分量的矩阵元, \[ f_{\alpha}^{\dagger}= \left(\begin{array}{cccc} f_{\uparrow}^{\dagger} \\ f_{\downarrow}^{\dagger} \\ \end{array}\right) \] \[ f_{\beta}= \left(\begin{array}{cccc} f_{\uparrow} \\ f_{\downarrow} \\ \end{array}\right) \]是狄拉克旋量,对旋量进行 SU(2)变换会诱导原来自旋算符 \bm{S}SO(3)空间转动。旋量里的f_{\uparrow}^{(\dagger)},f_{\downarrow}^{(\dagger)} 都是费米子算符,给定一个真空 |0>,那么单格点上的Fock空间基可以由费米子作用于真空得出:

|0>=vacuum

f_{\uparrow}^{(\dagger)}|0>=|\uparrow>, f_{\downarrow}^{(\dagger)}|0>=|\downarrow>

f_{\uparrow}^{(\dagger)}f_{\downarrow}^{(\dagger)}|0>=|\uparrow\downarrow>

与原来单格点自旋第三分量 S_{z}的态空间有以下对应(对应方式并不唯一):

|0>\rightarrow|\downarrow_{z}>

|\uparrow\downarrow>\rightarrow|\uparrow_{z}>

|\uparrow>|\downarrow> : reduncdency.

接着,我们把费米算符写成以下矩阵形式:

\[ \bm{F}= \left(\begin{array}{cccc} f_{\uparrow} & f_{\downarrow}^{\dagger} \\ f_{\downarrow} & f_{\uparrow}^{\dagger} \\ \end{array}\right) \]

它的列向量是 f_{\beta}, f_{\alpha}^{\dagger} ,横向量 \[ \Psi_{\alpha}= \left(\begin{array}{cccc} f_{\uparrow} \\ f_{\downarrow}^{\dagger} \\ \end{array}\right) \] 我们叫规范二重态,则原来的自旋算符就写成:

\bm{S}=-\frac{1}{4}tr(\bm{\sigma}\bm{F}\bm{F^{\dagger}})

这种表示与原来的 \bm{S}对比有 SU(2) 的冗余空间的,即对 \bm{F}\rightarrow\bm{F}\bm{U}, \bm{U}\in SU(2) (右作用,相当于对规范二重态  \Psi_{\alpha} 进行 SU(2) gauge变换,另外左作用则为自旋rotation变换),原来的自旋的算符 \bm{S} 无动于衷。

我们可以把Heisenberg model写成费米子算符表示的形式:

\bm{H_{AH}}=\sum_{<ij>}-\frac{1}{2}J(f_{i\alpha}^{\dagger}f_{j\alpha}f_{i\beta}^{\dagger}f_{i\beta}+\frac{1}{2}f_{i\alpha}^{\dagger}f_{i\alpha}f_{j\beta}^{\dagger}f_{j\beta})

我们对它做一个Hubbard-Stratonovich变换,我们可以得到系统的拉格朗日量:

L=\sum_{i}{\Psi_{i}^{\dagger}\partial_{\tau}\Psi_{i}}+\sum_{<ij>}{\frac{3}{8}J_{ij}[\frac{1}{2}Tr(U_{ij}^{E\dagger}U_{ij}^{E})-(\Psi_{i}^{\dagger}U_{ij}^{E}\Psi_{j}+h.c.)]}+\sum_{i}{a_{0}^{l}\Psi_{i}^{\dagger}\tau^{l}\Psi_{i}}

a_{0}^{l} 是拉格朗日乘子,在这里充当自旋子的化学势 ,\tau^{l} 的1,2,3分量是泡利矩阵,0分量是单位矩阵。其中做了平均场处理:

-2<f_{i\alpha}f_{j\beta}>^{E}=\Delta_{ij}^{E}\varepsilon_{\alpha\beta},-2<f_{i\alpha}^{\dagger}f_{j\beta}>^{E}=\chi_{ij}^{E}\delta_{\alpha\beta}

\[ \bm{U}_{ij}= \left(\begin{array}{cccc} \chi_{ij}^{E\dagger} & \Delta_{ij}^{E} \\ \Delta_{ij}^{E\dagger} & -\chi_{ij}^{E} \\ \end{array}\right) \]

我们可以在局域的规范变换下,

\Psi_{i}\rightarrow W_{i}\Psi_{i}=\Psi_{i}'

W \in SU(2)

拉格朗日量不变。

到这里,slave费米子的手续业已完成,我们看到简单的Heisenberg(硬核玻色子)模型在Schwinger-Fermion表述下拥有一个 SU(2) 的规范结构和由 f_{\uparrow}^{(\dagger)},f_{\downarrow}^{(\dagger)} 描述的slave费米子。这些费米子会在什么情况下被解禁闭出来,成为可被观测的准粒子呢?这是我们进一步思考的问题。

最后说一说,我们看到这些slave费米子是原来算符的部分子化(partonization)得到的,然而它并不真正是通过对自旋再分的部分,而是集体激发的低能有效描述。因此这里体现一个奇妙的哲学思想:集体激发衍生出个体的部分。日后我会从范畴论谈谈这个事情。

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:潇湘

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