概率的应用Ⅱ：赌徒破产问题 (Gambler’s Ruin Problem) 和赛车投注 (Motor Racing Betting)

闪, 新闻 • 2022年2月20日

既然我们要说概率，那么赌博相关的问题一定是必不可少的了。今天就分享两种比较常见，易理解的赌博概率计算方法。希望大家看了以后能对赌博有更多了解，理性赌博。

1) 赌徒破产问题 (Gambler's Ruin Problem)

A和B两个赌徒，各选择硬币的一面：如果过正面朝上，A赢，B给A一块钱；反面朝上，B赢，A给B一块钱。两人一直这样不停地赌博，当其中一方的钱全输光时，游戏结束。

正面朝上的可能性是 p, 反面朝上的可能性是 q=1-p

问题：A赢得全部的钱的概率是多少？

设，A一开始有 i 块钱， B有 (N-i) 块钱，即 N 为A和B开场资金的总和。

设 $P_{i }$ 为在A有 i 块的时候，A赢走所有钱的可能性。

这道题的关键是要理解下面这个公式：

$P_{i} = p \times P_{i+1} + q \times P_{i-1}$

假设 i = 3， $P_{3 }$ 代表在A有3块钱的时候，能赢下所有钱的可能性。这个可能性要怎么算呢？

我们要用到全概率公式(Law of Total Probability). 这个公式的右手边可以解读为： P(A 赢下所有钱|A赢了下一局，即A有4块钱) $\times$ P(A赢了下一局) $+$ P(A 赢下所有钱|A输了下一局，即A有2块钱) $\times$ P(A输了下一局)

所以我们得到了 $p\times P_{i+1} + q \times P_{i-1 }$

同时我们也知道 $P_{0}=0$ , $P_{N} = 1$

如果N比较小的话，我们可以得到一个方程租，只要解出 $P_{i}$ 就好了

比如说，我们套到另一道题里，A和B玩游戏，当A赢的局数比B多出2，游戏结束。

p为A每一盘赢的可能性，q为B每一盘赢的可能性。p+q=1

这里我们就要把赢得局数看成钱，得到以下方程组：

$P_{1} = 1\times p + P_{0} \times q$

$P_{0} = P_{1}\times p + P_{-1} \times q$

$P_{-1} = P_{0}\times p + 0 \times q$

解出 $P_{0} = \frac{p^{2}}{1-2p(1-p)}$

如果N很大的话，我们可以列出一些式子，然后简化，得出：

$P_{i}=\frac{1-(q/p)^{i}}{1-( q/p)^{N}}$ 如果 $p\ne0.5$

$P_{i} = \frac{i}{N}$ 如果 $p = 0.5$

2) 赛车投注 (Motor Racing Betting)

足球、赛马、F1赛车博彩大家都听说过，每当到了赛季，有些粉丝或是赌徒就按捺不住，想支持自己喜欢的选手或是队伍，也从中或利益比。想想，如果自己喜欢的球队赢了，同时也发了笔小财，真的是喜上加喜的好事啊。可是大家有没有思考过，博彩公司是怎么盈利的？我们的收益又是如何算出来的？今天和大家简单解释一下。

假如一个赛车比赛里有5位赛车手，每一位赛车手的总投注分别为：

假设，博彩公司先拿走总投注里的10%(9百万)，作为收入，博彩公司就觉得不会亏了。

剩下的钱就会是赌民的盈率

5.40的盈率表示，如果一个人在赌了10块钱A会赢，A赢的时候得到10 $\times$ 5.4 = 54块钱的回报，A没赢就会输掉所有的10块钱。

所以说，不管怎么样，博彩公司是一定会盈利的，不然人家的生意也没办法做下去。

当然，我相信事实的情况肯定会比这复杂得多，我也只是从一个简单的概率角度，解释了一下博彩公司的操作。所以大家有什么见解，我写的有什么不足的地方可以一起讨论，一起学习啊。

小赌怡情，大赌伤身。赌博这种事很多人就是追求的是多巴胺分泌，带来的那种亢奋的感觉。为了追求这种感觉，大家偶尔乐一乐就好。毕竟那种亢奋感只是一时的，回归现实，我们可以把这些时间金钱用在更有意义的地方，不仅让自己开心，也给别人带来快乐。

赌博要克制，呼吁大家理性赌博。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：Lucia

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