如何看待 arXiv2111.02792 对黎曼猜想的证明？

看到了Schwarz空间，tempered distribution，这些名词还是很亲切的。pseudodifferential不了解。粗略浏览过，我认为这个远比Atiyah的证明更像是真的。

我就随便说说我的想法，也许很“民科”。也不完全是我的想法，相关方向有一些文献资料，可以搜索“Beurling zeta function”。如果分析学家问数论学家：整数集在实数集中不过就是一个零测集，那整数为何重要？那么数论学家将如何回应呢？如何在分析学上证明整数的重要性呢？一个可能的答案就是，对于正弦波来说，实数是行波与坐标轴（在某些时刻）的交点，而整数（在相位为零且取波长的一半为单位长度的情况下）是驻波与坐标轴（在任意时刻）的交点，所以整数还是很重要的，它能决定一个波动的峰谷位置是否运动。这件事启发了我们，在研究一类特殊事物的时候，也许我们一开始可以考虑更宽泛的研究对象，接下来去缩小范围，逐渐找到特殊性产生的原因。

我们通常定义的整数可以写成

$N(x)=\sum_{j\in\mathbb{Z}}\delta(x-j),$

其中 $\delta$ 是所谓的狄拉克函数。狄拉克函数在非零点处取0，在0处取无穷大，且狄拉克函数的积分是1. 在实函数的范围内，当然没有这种东西。事实上，狄拉克函数这样的函数，被称为广义函数，也称为分布distribution，可以用泛函分析里的方法给定义。 $N(x)$ 也是一个分布，通常称为狄拉克梳子Dirac comb.

这个时候，我们可以把黎曼zeta函数

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s},\mathrm{Re}(s)>1$

写成

$\int_{0+}^{+\infty}\frac{N(x)}{x^s}dx$

这种形式。

自然的问题就是，如果把 $N(x)$ 替换成其他函数或分布，这个积分什么情况下收敛？这种情况下，素数是什么？函数方程、解析延拓、黎曼猜想等一系列关于原版zeta函数的结论在什么样的 $N(x)$ 下仍然成立？这种广义的整数，以及相应的广义素数，是Beurling首先研究的。

第一个问题的答案就是所谓tempered distribution,也就是Schwartz空间上的连续线性泛函，直观上来说就是某种增长不太快的函数。

第二个问题的答案就是唯一分解定理的分布版本。

第三个问题，函数方程的两边一般会涉及不同的广义zeta函数，在一定条件下两边涉及的zeta函数相同，此时我们就可以得到一个解析延拓。

第四个问题就是黎曼猜想。由于已经由Deligne证明的Weil猜想与此有某些相似性，可以期待其证明过程能启发对黎曼猜想的研究。Alain Connes就长期用他建立的非交换几何做这件事。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：走地鸡

【知乎日报】千万用户的选择，做朋友圈里的新鲜事分享大牛。
点击下载

此问题还有 14 个回答，查看全部。
延伸阅读：
偶然看到我们的大学老师在arXiv提交了证明黎曼猜想的论文，有大神看一下吗?

如何评价这篇arxiv上黎曼猜想的证明？