如何评价《明日方舟》限定池300抽保底？

0 前言

（不想看过程的直接拉到分割线后面看结论吧~~~）

过两天就要开【月隐晦明】的限定池了，抽卡群的群友们个个摩拳擦掌，迫不及待地想在新限定池战个天昏地黑。突然，有群友发问：“限定池双UP毕业的期望是多少抽！？”真是个刺激的问题，鉴于上次已经回答了个关于标准寻访的六星期望问题，这次决定再来讨论一下限定池的情况。

1 引言

关于双UP毕业的期望是多少抽，其实在nga已经有人讨论过啦，这里贴一个链接：

[分享氵]关于明日方舟up角色抽卡的概率和期望一览表

以及里面的结论：

首先要指出，图中双六星毕业的期望148.27是没有考虑井的情况，300抽的保底肯定是对这个期望有正面影响的。其次，为了紧扣主题，本回答将解决以下问题：

300抽保底机制下不同抽卡次数对应限定池双UP的毕业概率是多少？
同样机制下，限定池双UP毕业的期望是多少抽？
300抽保底机制（井）为玩家带来了多少好处？

2 方法与实现

其实最简单的方法就是蒙特卡洛暴力算，不过如果仿真次数不多的话容易出现估计有偏的情况，并且每次程序运行的结果可能会有所不同。所以这次我们采用一个比较稳的方法——递推法。

具体思路如下：

在限定池抽卡，玩家的状态可以用三个数 $[a,b,c]$ 表征，其中 $a$ 为总抽卡次数， $b$ 为六星保底状态（垫刀）次数， $c$ 为已获得六星的个数。很显然，由于没法垫刀，最开始大家的状态都是 $[0,0,0]$ 。

状态之间的递推如下：

$[a,b,c]\rightarrow \begin{cases} [a+1,b+1,c], 未抽到六星\\ [a+1,0,c+1], 抽到六星\end{cases}$

其中抽到六星的概率为 $p(b)$ ，在 $b\le50$ 时为0.02，其他时候会递增到1，未抽到六星的概率为 $1-p(b)$ 。

另外，这个递推并非无穷递推，很显然，到了600抽吃了两次井之后，鬼都能双UP毕业了，所以 $a$ 达到600的时候就结束了。

到这里思路就已经阐述清楚了，后面就是贴代码的时候，这里又用上了工科生最爱的MATLAB，请忽略我无穷无尽的for loop，由于MATLAB里头开数组没法从0开始，所以为了方便在代码里对 $[a,b,c]$ 的定义做了简单的调整。

a_max = 601; b_max = 100; c_max = 601;
prob = zeros(a_max, b_max, c_max);
prob(1,1,1) = 1;
p_i = 0.02 * ones(99,1);
for b = 51:99
    p_i(b) = 0.02+(b-50)*0.02;
end

for a = 1:600
    fprintf('a=%g\n',a)
    for b = 1:99
        for c = 1:600
            prob(a+1,b+1,c) = prob(a+1,b+1,c) + (1-p_i(b)) * prob(a,b,c) ;
            %没抽到六星
            prob(a+1,1,c+1) = prob(a+1,1,c+1) + p_i(b) * prob(a,b,c) ;
            %抽到了六星
        end
    end
end

这个prob矩阵包含的信息为：在抽了 $a$ 次之后，获得 $c$ 个六星且垫刀 $b$ 次的概率。

随后，运用一些概率论的知识，可以对prob矩阵进行转换，得到一些有用的信息：

prob_double = zeros(601,1); 
prob_single = zeros(601,1);
for i = 1:601
    prob_double(i) = 1-0.65^(i-1)*2+0.3^(i-1); % 抽到双UP的概率
end
for i = 1:601
    prob_single(i) = 1-0.3^(i-1); % 抽到单UP的概率
end

final = zeros(600,1);
final(1) = 0; % 第一抽是不可能毕业的
for i = 3:300
    temp = reshape(prob(i,:,:),100,[]); % 前299抽必须靠自己抽才能毕业
    final(i-1) = sum(temp) * prob_double;
end
for i = 301:600
    temp = reshape(prob(i,:,:),100,[]); % 由于有井，第300~599抽只要有单UP就能毕业
    final(i-1) = sum(temp) * prob_single;
end
final(600) = 1; % 第600抽，鬼都能毕业
d_final = final(2:600) - final(1:599);
E = (2:600) * d_final;

注意到这里我引入了两个辅助向量，分别是：

prob_double ：抽到i+1个六星时拥有双UP的概率；
prob_single ：抽到i+1个六星时拥有单UP的概率。

这个d_final是毕业时抽卡次数的概率密度函数，画出来大概长这个样子（可见井的截断效应还是很明显的）：

而这个E就是期望了，E=142.0785。

3 对比

没有300井是个什么情况？不考虑井的话就不需要递推这么麻烦了，直接对prob_double这个向量进行处理，得到毕业时抽到六星次数的概率密度函数pdf，再乘以六星的抽卡期望次数即34.5949就行了，代码如下：

% 看看没有300井的情况
d_final2 = prob_double(2:601) - prob_double(1:600) ;
E2 = 34.5949 * (1:600) * d_final2;

最后E2=148.2638，与一开始nga图里头的期望是一致的。

4 结论

一、300抽保底机制下，双UP毕业的期望抽卡次数约为142次。

二、300抽保底机制的引入对追求当期毕业的玩家来说，从期望角度约减少了6次抽卡，折合3600合成玉，20源石。

三、即使在300抽保底机制下，脸黑的人也有可能会抽到599下都没能毕业，这种情况的概率是3.3617e-08，大约一亿个人里有三个多。

四、如果说抽卡的前方是无尽的黑暗，那就让井帮我们染尽黑暗吧。（我是不是串戏了？）

五、祝看这个回答并点赞的博士们一发十连毕业限定池。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：郑文强

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延伸阅读：
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明日方舟可以用什么机制刺激玩家推图?