《魔兽世界》的随机数值是如何在程序中处理的呢？请阅读问题补充？

令 $p$ 为等价概率, $a$ 为真实概率.

首次触发概率为 $a$ , 第 $k$ 次触发概率是 $ak$ , $ak$ 大于 $1$ 时必定触发.

那么可以导出如下关系:

$p(a)=\frac{1}{E(a)} = - \sum _{i=1}^{\left\lfloor 1/a\right\rfloor +1} i^2 (-a)^i\left(\frac{a-1}{a}\right)_{i-1}$

比如 $p(0.0571)\approx0.2$ , 也就是暴击因子 $5.7\%$ 对应 $20\%$ 的等价暴击率.

所以你举的这个数据是错的, 正确的可以查: Dota Wiki

$p(a)$ 是个分段多项式, 而且除了 $0.5<a<1$ 是分段单调的, 可以求它的反函数.

你想知道 $25\%$ 等价概率对应多少真实概率, 一般精度要求不高直接插值就行了

但你要想求精确值, 这个就非常麻烦了, 你得解方程

$E_4(a)=-96 a^4+194 a^3-127 a^2+30 a=\frac{1}{4}$

解得 $a\approx8.6456\%$ 才能有 $p = 25\%$

如果你要找 $1\%$ 的等价概率就要解一个 100 次方程,…

这谁顶得住哇…..

这就要靠渐进分析了, 原式可以近似为:

$p(a)\approx\frac{a+1}{e^{1/a} a^{\frac{1}{a}+1} \Gamma \left(2+\frac{1}{a},\frac{1}{a}\right)-a-2},0<a<\frac14$

可我还是不能对这玩意儿求反函数啊….

所以现在的问题归结为分母部分如何近似计算, 核心在于下列式子^[1]如何计算:

$g(n)= e^n n^{-n} \Gamma (n+2,n), n>0$

对于不完全 $\Gamma$ 函数, 我们有如下渐近展开:

$\Gamma(z, z) \sim z^{z-1} \mathrm{e}^{-z}\left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} z^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3} +\frac{\sqrt{2 \pi}}{24 }z^{-\frac{1}{2}}-\frac{4}{135}z^{-1} +\frac{\sqrt{2 \pi}}{576}z^{-\frac{3}{2}}+\frac{8}{2835}z^{-2} +\cdots\right)$

同时我们有以下递推关系:

$\Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}\mathrm {e} ^{-x}$

然后带入递推展开得到:

$\Gamma (n+2,n)=e^{-n}n^n(2 n+1) +(n+1) n \Gamma (n,n)$

接着渐近展开代入 $\Gamma (n,n)$ 得到:

$g(n)\sim\sqrt{\frac{\pi }{2}} n^{3/2}+\frac{5}{3}n+\sqrt{\frac{169 \pi }{288}}n^{1/2}+\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{\pi }{288}} n^{-1/2} + O(n^{-1})$

最后代回去就可以获得 $p(a)$ 的各阶近似:

$\begin{aligned} p_1(a)\sim&\frac{6\sqrt{a}}{18\pi-2\sqrt{a}}\\ p_2(a)\sim&\frac{24}{\sqrt{2\pi}\left(\sqrt{a}+\frac{12}{\sqrt{a}}\right)-8}\\ p_3(a)\sim&\frac{1080\sqrt{a}}{\sqrt{2\pi}(45a+540)-\sqrt{a}(32 a+360)} \end{aligned}$