数学家乌伦贝克获 2019 年度阿贝尔奖，成为该奖首位女性得主，她在现代几何分析等领域有哪些成就？

我数学生涯第一次读一篇文章，就是Sacks-Uhlenbeck的经典作品”Sacks, J.;Uhlenbeck, K.The existence of minimal immersions of2-spheres.Ann. of Math. (2)113(1981), no. 1, 1–24.” 我就大概说一说Uhlenbeck在这方面的相关工作吧。

我们还是从极小曲面出发。对于一个三维流形中的正则性比较好的曲面，我们都可以定义它的面积。一个极小曲面就是面积这个函数的临界点——也就是说，无论如何扰动它，它的面积的一阶变分都是0。这是变分法最基本的模型，在自然界中也很常见——你可以把铁丝扭成一个闭环，浸到肥皂水中，产生一个以这个闭环为边界的肥皂膜，这个膜就是一个极小曲面。

尽管物理上来说证明一个极小曲面的存在性是很简单的（找一根铁丝和一杯肥皂水即可！），但数学上这是长期的困难的问题。早在Lagrange的年代，他就问到这样的问题，现在被称为Plateau问题。用现代语言来叙述是这样的：

给定一个三维欧氏空间中的光滑闭曲线，是否总是存在一个极小曲面，拓扑上是圆盘，并且以这条曲线为边界？

这个问题之后走出了两条截然不同的路，我只谈谈Uhlenbeck相关的那一条。在偏微分方程理论大发展后，Douglas和Rado分别独立给出了这个问题的解——这样的极小圆盘是存在的！Douglas凭借这个工作获得了第一届Fields奖。为了介绍Uhlenbeck的工作，我先简单讲述一下Douglas-Rado的想法。

直观上来说，要证明存在一个极小的圆盘，只需要以下的方法：首先，因为一些拓扑的论证，我们可以说明对于给定边界的圆盘，他们的面积一定存在一个下界，从而有一个下确界，称为 $A$ ；然后，我们找一列圆盘 $D_i$ ，让他们的面积趋于这个下确界 $A$ ；最后，我们证明这列圆盘有个极限 $D_i\to D$ ，那么这个 $D$ 就是我们想找的极小圆盘了。

但是这个过程有一个致命的问题，就是最后一步行不通。Frank Morgan的书上有个很有趣的图，可惜我现在找不到（感谢@包遵信提供：哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难？这个回答下的图正是我这里所指的）。简单地说，这些 $D_i$ 的面积可以越来越小，但他们的正则性可能非常差，从而没有办法合理地取极限。举个例子，这些 $D_i$ 可能会长出很多小枝干，每根小枝干的面积都很小，但延展得很开，最后甚至可以充斥整个空间。这样的对象是没法取极限的。

用现代数学的观点，就是单纯考虑光滑映射与面积这个函数的空间的拓扑不好，它不是拟紧的（precompact），所以在这个空间里不能合理地取极限。为了克服这个困难，历史上走出了不同的道路。Douglas-Rado的想法是，我们不考虑“面积”，而考虑“能量”。能量的临界点被称为调和映射（harmonic map），从名字就能看出来这是调和函数的推广。一个重要的事实是，如果一个调和映射同时也是共形映射，那么这个映射的像就是一个极小曲面！所以我们要找极小曲面，只需要找到一个调和映射同时是共形映射就可以了。

但这其实也是不容易的。我其实并不想讲Plateau问题，所以我不妨卖个关子，留到Uhlenbeck的工作来说如何进行这个过程。

以上的工作是针对一个边界来找极小曲面。更一般的问题是，如何在一个紧流形上，找极小曲面呢？如果紧流形的曲率有一定的限制，比如说负曲率的流形，那么Eells-Sampson的工作告诉我们是可以找到极小曲面的。但更一般的流形，特别是那些不存在负曲率度量的流形（例如三维的球面），这个问题看起来是很难解决的。我在这里指出两个难点，都是由Sacks-Uhlenbeck的精彩创造解决的。

我们考虑 $S^2$ 到一个紧流形 $M$ 的映射。经典的结果告诉我们如果这是一个调和映射，那么一定是共形映射。从而找极小 $S^2$ 只需要找一个调和映射就可以了。

第一个难点是，曲面的共形变换群（conformal group）很大，而且是非紧的。但能量在共形变换下是不变的。即使有一列让能量趋近于下确界的映射，它们同样有可能不存在一个极限。甚至说，即使 $F:S^2\to M$ 是一个调和映射，假设我们取 $S^2$ 的共形变换群（也就是Mobius群）中不收敛的一个序列 $\{\phi_i\}$ （因为这个群是非紧的，所以这样的序列总是存在的），那么 $F\circ \phi_i$ 都是不收敛的，尽管它们的像是完全相同的！

为了克服这个困难，Sacks-Uhlenbeck要进行一个固定规范（fix gauge）的操作。为此他们考虑了一个扰动过的“能量”。这个能量不是共形不变的，所以得到的对应的“调和映射”也不存在共形不变的性质。另一方面，得到的“调和映射”又特别接近真正我们需要的调和映射。由此，他们可以得到一个极限，正是我们需要的调和映射。

第二个难点是，在这个极限的过程中，有可能并不能得到好的调和映照！让我们考虑如下的例子：假设流形 $M$ 里有两个能量极小的不相交的 $S^2$ ，分别实现 $\pi_2(M)$ 的两个不同的元素 $[\alpha]$ 和 $[\beta]$ 。现在我们考虑在实现 $[\alpha]+[\beta]$ 的映射中找能量最小的调和映射。那么这个映射应该是什么样的呢？首先，它应该就是 $\alpha\cup \beta$ 。但另一方面，如果我们用一个 $S^2\to M$ 的连续映射来实现 $\alpha\cup\beta$ ，它的像应该是 $\alpha$ 、 $\beta$ 以及他们俩之间相连的一条曲线（很可能是测地线）。但是共形映射是要保持角度不变的，但在曲线上一个方向完全塌缩了，所以，这样的集合是不可能由共形映射来参数化的（进而不可能是调和映射）。

为了克服这个难点，Sacks-Uhlenbeck观察到并提出了冒泡(bubbling)收敛的概念。在第一个难点中，Sacks-Uhlenbeck用扰动的调和映射来找到一个极限。在这个收敛过程中，能量会聚集在某一些点附近。首先，Sacks-Uhlenbeck发现在能量不聚集的地方，这个极限过程一定会收敛到一个光滑的调和映射；其次，在能量聚集的地方，可以用爆破（blow up）的方法重新参数化得到另一个光滑的调和映射！用这种方法，Sacks-Uhlenbeck可以很好地刻画一个收敛过程，得到的极限不是一个单独的调和映射 $S^2\to M$ ，而是一系列 $S^2\to M$ 的组合，这也就是所谓的冒泡收敛。

至此，Sacks-Uhlenbeck解决了闭流形里极小曲面的存在性问题。

这个结果十分精彩，但只是一系列故事的起点。极小曲面问题作为变分法的核心模型，方法和思想上的革命带来的是许多其他变分问题的突破。这其中最精彩的故事自然是Uhlenbeck本人在Yang-Mills联络上的一系列工作。其中最重要的两个工作是：

Uhlenbeck, Karen K.Removable singularities in Yang-Mills fields.Comm. Math. Phys.83(1982), no. 1, 11–29.

Uhlenbeck, Karen K.Connections withLpbounds on curvature.Comm. Math. Phys.83(1982), no. 1, 31–42.

我不是规范理论的专家，所以只能大家说一说故事的走向。给定一个四维紧流形上的主丛，我们可以定义Yang-Mills能量，Yang-Mills能量的临界点就是Yang-Mills联络。人们当时已经知道，Yang-Mills联络的模空间包含了许多重要的几何和拓扑信息。但这个模空间比较复杂。首先，Yang-Mills能量在一个规范群的作用下是不变的，而这个规范群也很大；其次，一列Yang-Mills能量有界的联络的收敛理论（即紧性）也不清楚。

值得注意的是，这些问题和调和映射的相关问题非常相似！Uhlenbeck应该也是注意到了两个问题中的相似之处，开始思考Yang-Mills理论的问题。这一系列工作最终成为了规范几何（gauge theory）的奠基工作，不但为Donaldson理论奠定了基础，也为之后一系列的规范理论划定了框架。后来的规范理论发展时的出发点往往就是Uhlenbeck所研究的紧性与冒泡收敛的结构。

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：Sun Ao

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