嗯，这是个很有意思的问题，看起来好像很容易，但是实际上没那么简单。

原则上来说，一滴水滴到绝对光滑平面上，那么除了水维持体积不变的内能以外，能变化的有：水和空气的表面能，水和平面的表面能，平面和空气的表面能，重力势能。

那么简单地说，水滴到平面上的过程，就是这个总能量最小化的过程。知道了这个过程，你就可以算水和表面接触面积了。

好的。原理我们知道了。如何实际操作呢？

1. brute-force

像这种问题呢，最粗暴的方式当然是跑一个数值模拟。比如说，我们可以建立一个水滴的网格模型，然后每个顶点上用边界元方法对表面张力和重力在时域积分。为了保证水的不可压性，每一步对速度场做一个Helmholtz分解，然后取无散度的那部分进行积分得到位置的变化。就像这样：

这样我们可以得到每时每刻这个水滴与水平面的接触面积。不只是面积，你还可以把水滴画出来，像下面这样：

2. 准静态

好了，题主大概会问，有没有简单点的方法？

那我们就得做一些假设了。下面我们忽略运动过程，只关心水滴稳定后的状态。那么这个时候水滴受力平衡，没有速度，我们可以试图直接求解它的几何形状，像下面这样：

根据托马斯.杨在1804年发现的规律，稳定状态下界面压差和曲率成正比；拉普拉斯进一步发现可以写成以下的微分方程。所以这个叫杨-拉普拉斯方程：

其中两撇是r对z的二次导数。整个左边其实就是这个形状的表面曲率；右面的b是O点的曲率半径，可以看成水滴体积的函数（因为体积固定）， 是单位长度下水和空气密度差产生的力， 是水和空气界面的表面张力系数。

对这个微分方程做数值求解，就能得到水滴形状，然后就能知道接触面积了。

3. 椭球近似

好了，题主大概会问，有没有再简单点的方法？

还是有的。我们观察到，上面这个水滴，在表面张力对形状影响远大于重力的情况下，大概是个被切掉一点的、纵轴压扁的椭球。我们可以假设就是个椭球，

通过几何关系，可以得到下面的方程组：

其中 和 相当于两个参数，后者是椭球两轴之比。如果水滴体积为 ，那么 就是体积为 的球的半径，最后我们要求的就是上式中的 ，就是水和平面接触面的半径。

那么我们还差两个参数不知道，这就需要根据椭球形状计算表面能，然后计算能量最小化情况下的形状。这个能量 可以写成下面这样：

其中 是重力势能和表面能影响的比值，也叫邦德数(bond number)，以及，

通过数值方法，对 求最小化，就可以得到两个参数，然后就可以计算出水和平面接触的表面积了！

那么这个方法怎么样呢？

比较一下，实线是解(2)中的微分方程得到的水滴形状，虚线是椭球近似模型得到的水滴形状，可以看到椭球近似的方法还是很准确的。

参考文献：

水滴的网格模拟：Da, Fang, et al. “Surface-Only Liquids.”ACM Transactions on Graphics (TOG)35.4 (2016): 78.

水滴的椭球近似模型：Lubarda, Vlado A., and Kurt A. Talke. “Analysis of the equilibrium droplet shape based on an ellipsoidal droplet model.”Langmuir 27.17 (2011): 10705-10713.

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：Raymond Fei

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