Note：引力波基础

1.背景知识

1.1 曲线坐标

1.1.1 张量变换

让我们研究从坐标系 $x^\alpha$ ，到另一个坐标系 $x'^\alpha$ 的变换：

$x^\alpha=f^\alpha(x'^\alpha) \$

其中， $f^\alpha$ 为某些函数，在坐标变换下，坐标的微分按照下列关系式变换：

$d x^\alpha=\dfrac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\beta}d x'^\beta\$

如果任何一组四维矢量 $A^\alpha$ 的集合，像坐标变换时坐标的微分一样变换，那么，这个矢量称为四维逆变矢量：

$A^\alpha=\dfrac{\partial x^\alpha}{\partial x'^\beta}A'^\beta\$

假定 $\varphi$ 为一标量，在坐标变换时，量 $\partial\varphi/\partial x^\alpha$ 按照公式：

$\dfrac{\partial \varphi}{\partial x^\alpha}=\dfrac{\partial\varphi}{\partial x'^\beta}\dfrac{\partial x'^\beta}{\partial x^\alpha} \$

可以看到，若定义 $A_\alpha=\partial\varphi/\partial x^\alpha$ ，则其变换方式与逆变矢量不同，这种变换方式称为协变矢量。

同理，我们还可以定义高阶的逆变张量、协变张量，以及混合的张量。

特别的，若张量 $A_{\alpha\beta}$ 与 $B^{\alpha\beta}$ 满足

$A_{\alpha\beta}B^{\beta\gamma}=\delta^{\gamma}_{\alpha}\$

则称两张量是互逆的。

1.1.2 度规张量

考虑线元的平方 $d s^2$ 是微分的 $d x^\alpha$ 的二次型，即

$d s^2=g_{\alpha\beta} d x^\alpha d x^\beta \$

其中， $g_{\alpha\beta}$ 称为度规张量。 $g_{\alpha\beta}$ 对于指标 $\alpha$ 与 $\beta$ 是对称的，也即：

$g_{\alpha\beta}=g_{\beta\alpha}\$

度规张量的一个重要作用是升降张量的一个指标，例如将一个逆变矢量变换为一个协变矢量，或将一个协变矢量变换为一个逆变矢量：

$A^\alpha=g^{\alpha\beta}A_{\beta}, \ A_\alpha=g_{\alpha\beta}A^{\beta} \$

狭义相对论的时空结构为Minkowski空间，其度规写作：

$g_{\alpha\beta}=g^{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}\$

常用的描述球形对称引力场的Schwarzschild度规：

$\begin{equation}\label{key} g_{\alpha\beta}=g^{\alpha\beta}=\begin{pmatrix}(1-\frac{2GM}{r})&0&0&0\\0&-(1-\frac{2GM}{r})^{-1}&0&0\\0&0&-r^2&0\\0&0&0&-r^2\sin^2 \theta\end{pmatrix} \end{equation}\$

1.1.3 协变微分

在Minkowski空间中，矢量 $A_\alpha$ 的微分 $d A_\alpha$ 依然是矢量，而矢量的分量对坐标的导数 $\partial A_\alpha/\partial x^\beta$ 构成一个二阶张量，而在曲线坐标的普遍情况下并不是这样，由于 $d A_\alpha$ 不是矢量， $\partial A_\alpha/\partial x^\beta$ 也并不是一个张量，这是由于 $d A_\alpha$ 不仅仅是物理量 $A_\alpha$ 的线性主部，它也同时依赖于度规所描述的时空结构，换言之, $d A_\alpha$ 描述的是空间中相距无限近的两个点的矢量之差，而在这些点上，矢量的变换上不同的。

考虑协变矢量 $A_\alpha$ 的变换：

$A_\alpha=\dfrac{\partial x'^\beta}{\partial x^\alpha} A'_\beta\$

因而有

$\begin{aligned} d A_\alpha&= \dfrac{\partial x'^\beta}{\partial x^\alpha} d A'_\beta + A'_\beta d \dfrac{\partial x'^\beta}{\partial x^\alpha} \\ &= \dfrac{\partial x'^\beta}{\partial x^\alpha} d A'_\beta + A'_\beta \dfrac{\partial^2 x'^\beta}{\partial x^\alpha \partial x^\gamma} d x^\gamma \end{aligned}\$

因此， $d A_\alpha$ 并非像矢量一样的变换，当且仅当二阶导数 $\partial^2 x'^\beta/\partial x^\alpha \partial x^\gamma =0$ 时，即 $x'^\beta$ 是 $x^\beta$ 的线性函数时，变换公式回到Minkowski空间的形式：

$d A_i=\dfrac{\partial x'^\beta}{\partial x^\alpha}d A'_\beta\$

1.1.4 协变微分

在曲线坐标中，为了得到矢量的微分，那个相减的两个矢量就必须在空间中的同一点。换言之，我们必须用一个方法将两个彼此相距无限近的两个矢量中的一个矢量平行移动到第二个矢量所在点，此后，我们再求两个矢量的在同一点的差。在Minkowski空间中，平移这种操作对矢量的分量没有影响。但在曲线坐标下，讲一个矢量平行移动到另一个点之后，两个矢量的分量之差与移动前两个矢量的分量不相等。

对任意一个逆变矢量 $A^\alpha$ ，为了讨论这种平移，我们做如下的假设，考虑它在 $x^\alpha$ 的值为 $A^\alpha$ ，在相距无穷小的点 $x^\alpha+d x^\alpha$ ，其值为 $A^\alpha+d A^\alpha$ 。我们将矢量 $A^\alpha$ 做无穷小的平行移动，这时矢量的变化用 $\delta A^\alpha$ 来表示。现在位于同一点的两个矢量的差以 $D A^\alpha$ 来表示，则 $D A^\alpha$ 表示为

$D A^\alpha=d A^\alpha -\delta A^\alpha\$

由于两个矢量的和必须要做每个矢量的变换规则而变化，一个矢量在做无穷小的平行移动时，其分量的变换 $\delta A^\alpha$ 与本身的值有关，而且这一关系必须是线性的，即：

$\delta A^\alpha =-\Gamma^\alpha_{\beta \gamma}A^{\beta}d x^{\gamma}\$

即 $\delta A^\alpha$ 是 $A^{\alpha}$ 与平移距离 $d x^{\alpha}$ 的双线性函数，其系数 $\Gamma^\alpha_{\beta \gamma}$ 是坐标的函数，在Minkowski空间，其恒为 0 。

由此可以看出， $\Gamma^\alpha_{\beta \gamma}$ 本身只是一组系数的集合，并不构成一个张量，因为加入一个坐标系中一个张量为 $0$ ，那么在其他任何坐标系中它都为 $0$ ，而在曲线坐标系中当然不错在所有 $\Gamma^\alpha_{\beta \gamma}$ 都为 0 的可能性。但是Einstein等效原理说明了适当坐标系的选取能在给定的局部无穷小空间消除引力场，也就是说能使 $\Gamma^\alpha_{\beta \gamma}$ 等于 $0$ 。未来我们能看到， $\Gamma^\alpha_{\beta \gamma}$ 与场强对应。

$\Gamma^\alpha_{\beta \gamma}$ 称为Levi-Civita联络系数或Christoffel符号。以后我们还会用到符号 $\Gamma_{\alpha,\beta\gamma}$ ，其定义为：

$\Gamma_{\alpha,\beta\gamma} =g_{\alpha \theta} \Gamma^{\theta}_{\beta\gamma}\$

利用Levi-Civita联络系数与平行移动，我们可以将协变微分写为

$DA^\alpha=(\dfrac{\partial A^\alpha}{\partial x^\gamma}+\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma})d x^\gamma\$

$DA_\alpha=(\dfrac{\partial A_\alpha}{\partial x^\gamma}-\Gamma^{\beta}_{\alpha \gamma})d x^\gamma \$ 从而定义协变导数

$D A^\alpha= A^\alpha_{\ ;\gamma}d x^\gamma, \ D A_\alpha= A_{\alpha ;\gamma}d x^\gamma,\$

它是普通导数的推广，在Minkowski坐标系中， $\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}=0$ ，协变微分化为普通微分。相应的，将协变导数利用度规张量进行升降，则称逆变导数。

1.1.5 Christoffel符号与度规张量的关系

从协变导数的定义出发，显然有

$D A_\alpha=g_{\alpha\beta}D A^{\beta}\$

对于矢量 $A_{\alpha}$ ，始终有 $A_\alpha=g_{\alpha\beta}A^\beta$ ，则

$DA_{\alpha}=D(g_{\alpha\beta}A^\beta)=g_{\alpha\beta}DA^\beta+A^\beta D g_{\alpha\beta}\$

因此显然有

$D g_{\alpha \beta}=0\$

直接推出，协变导数

$g_{\alpha\beta;\gamma}=0 \$

$g_{\alpha\beta;\gamma}=\dfrac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^\gamma}-g_{\theta\beta}\Gamma^{\theta}_{\alpha\gamma}-g_{\alpha\theta}\Gamma^{\theta}_{\beta\gamma}=\dfrac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^\gamma}-\Gamma_{\beta,\alpha\gamma}-\Gamma_{\alpha,\beta\gamma}\$

交换指标 $\alpha,\beta,\gamma$ ，并通过加减消去，我们立即得到

$\Gamma_{\alpha,\beta\gamma}=\dfrac{1}{2}\bigg{(}\dfrac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^\gamma}+\dfrac{\partial g_{\alpha\theta}}{\partial x^\beta}-\dfrac{\partial g_{\beta\theta}}{\partial x^\alpha}\bigg{)}\$

$\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}=\dfrac{1}{2}g^{\alpha\theta}\bigg{(}\dfrac{\partial g_{\theta\beta}}{\partial x^\gamma}+\dfrac{\partial g_{\theta\gamma}}{\partial x^\beta}-\dfrac{\partial g_{\beta\theta}}{\partial x^\theta}\bigg{)}\$

1.1.6 Riemann张量与Ricci张量

考虑矢量 $1$ 沿着三条曲线闭合的轨道沿着 $1\to2\to3\to1'$ 平移，在平移过程中它与这条直线所成之角保持不变，在重新回到 $A$ 时，该矢量变为 $1'$ ,而 $1'$ 与 $1$ 并不重合。那么如何描述这个闭合曲线所在曲面的弯曲程度呢？考察矢量围绕闭合回路平行移动的普遍公式，这个变化称为 $\Delta A_\beta$ ，它应该等于

$\Delta A_\beta=\oint \delta A_\beta=\oint \Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}A_\alpha d x^\gamma\$

对于闭合回路，应该有Stokes公式，考虑包围的无穷小面积为 $\Delta f^{\gamma\theta}$ ，则

$\begin{aligned} \Delta A_{\beta}&=\dfrac{1}{2}\bigg{[} \dfrac{\partial(\Gamma^{\alpha}_{\beta\theta}A_\alpha)}{\partial x^\gamma}-\dfrac{\partial(\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}A_\alpha)}{\partial x^\theta}\bigg{]}\Delta f^{\gamma\theta}\\ &=\dfrac{1}{2}R^{\alpha}_{\beta\gamma\theta}A_\alpha\Delta f^{\gamma\theta} \end{aligned}\$

其中 $R^{\alpha}_{\beta\gamma\theta}$ 称为Riemann张量或曲率张量。它描述了一个空间的弯曲程度。做这种考虑，是由于描述曲面某个局域的点的性质，应当与其面积无关。

Riemann张量的一个有价值的缩并是Ricci张量

$R_{\alpha\beta}=g^{\gamma\theta}R_{\alpha\beta\gamma\theta}\$

这个张量显然是对称张量，进一步的，我们可以再进一步的缩并，最终得到不变量Ricci标量

$R=g^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta}\$

它们的意义将在广义相对论的构建中逐渐展开来。

1.2 广义相对论基础

1.2.1 运动方程

在狭义相对论中，一个自由粒子的运动由最小作用量原理确定

$\delta S=-mc \delta \int d s=0 \$

其中 $d s$ 为世界线的线长。显然的，其对应的运动方程是

$\dfrac{d u^\alpha}{d s}=0 \$

其中 $u^\alpha$ 为粒子四维速度。自然地，在广义相对论中，一个自然的推广为

$D u^\alpha=0\\$

从矢量的协变微分表达式易得

$d u^\alpha+\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}\dfrac{d x^\alpha}{d s}d x^\gamma=0 \$

用 $d s$ 除上式，得到

$\dfrac{d^2 x^\alpha}{d s^2}+\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}\dfrac{d x^\alpha}{d s}\dfrac{d x^\gamma}{d s}=0 \$

我们将其称为自由粒子的运动方程，或者测地线方程。

1.2.2 Einstein场方程

从物质和场的运动，即系统的运动满足最小作用量原理易得

$R_{\alpha\beta}-\dfrac{1}{2}g_{\alpha\beta}R=\dfrac{8\pi k}{c^4}T_{\alpha\beta}\$

其中 $T_{\alpha\beta}$ 为物质的能动量张量。

2 引力波理论基础

2.1 引力波的传播

2.1.1 波动方程

考虑平直时空背景下由于某种原因发生了某种扰动，使得度规张量 $g_{\mu\nu}$ 发生了改变，令这种改变为

$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}, \ |h_{\mu\nu}|\ll 1\$

同时对应的逆变度规 $g^{\mu\nu}$ 变换为

$g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}\$

在背景时空的Lorentz变换下，其变换显然为

$h_{\alpha\beta}=\Lambda_\alpha^{\ \mu}\Lambda_\beta^{\ \nu}h_{\mu\nu}\$

按照前述，联络符号为

$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\dfrac{1}{2}\eta^{\lambda\rho}(\partial_\mu h_{\rho\nu}+\partial_\nu h_{\mu \rho}-\partial_\rho h_{\mu\nu})\$

Riemann曲率变为

$R_{\mu\nu\rho\sigma}=\eta_{\mu\lambda}\partial_\rho \Gamma^\lambda_{\nu\sigma}-\eta_{\mu\lambda}\partial_\sigma \Gamma^\lambda_{\nu\rho} \$

Ricci曲率变为

$R_{\mu\nu}\approx \dfrac{1}{2}(\partial_\lambda \partial_\nu h^\lambda_\mu+\partial_\lambda\partial_\mu h^\lambda_{\nu}-\partial_\mu\partial_\nu h -\square h_{\mu\nu})\$

其中 $\square =\eta^{\lambda\rho}\partial_\lambda \partial_\rho$ 即平直时空的D’Alembert算子。再次缩并得到Ricci标量

$R=\partial_\lambda\partial_\mu h^{\lambda\mu}-\square h\$

带入真空中的Einstein场方程，显然有

$\square h_{\mu\nu}-\dfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu} \square h=0\$

做所谓的迹数翻转并选取谐和规范（harmonic gauge condition）

$\partial \bar{h}^{\mu}_{\lambda}=0\$

我们就得到

$\square\bar{h}_{\mu\nu}=0\$

这是一个典型的波动方程，也就是所谓引力波方程。

显然的，这个方程具有平面波解

$\bar{h}_{\mu\nu}=A_{\mu\nu}\exp(i k_\alpha x^\alpha)\$

易知

$k^\alpha k_\alpha=0\$

与电磁波相同，它们的波速都为 $c$ 。当选取 $z$ 为传播方向时，由于谐和规范，同时又有

$k_\alpha A^{\alpha \beta}=0\$

在这种规范下，引力波是一个横波，并且可以做无迹化，满足两者的规范选取称为TT规范（transverse traceless gauge），这种规范下，引力波的振幅张量可以写为

$A^{TT}_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&A_{xx}&A_{xy}&0\\0&A_{xy}&-A_{xx}&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\$

实际上它表征了引力波的两个振动方向，

$A^{\mu\nu}=h_{+}e^{\mu\nu}+h_xe^{\mu\nu}_x\$

2.1.2 引力波的振幅

引力波带来的效应，是时空度规上的改变，因此，我们需要考虑在这样一个时空度规改变的情况下的动力学，首先，在引力波传播到的时空点 $x^\alpha$ ，其测地线方程可以写为

$\dfrac{d^2 x^\alpha}{d \tau^2}+\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}\dfrac{d x^\beta}{d \tau}\dfrac{d x^\gamma}{d \tau}=0\$

为了直观的解决这个问题，我们需要从 $\alpha=0$ 的方程首先获得固有时 $\tau$ 与坐标时间 $t$ 之间的关系，然后带入 $\alpha=1,2,3$ 的公式中，从而得到

$\dfrac{d x^i}{d t^2}=-(\Gamma^i_{tt}+2\Gamma^{i}_{0j}v^j+\Gamma^0_{00}v^jv^k)+v^i(\Gamma^i_{tt}+2\Gamma^{0}_{0j}v^j+\Gamma^0_{jk}v^jv^k)\$

假定物体的运动速度是远小于 $c$ 的，因而有

$\dfrac{d^2 x^i}{d t^2}+\Gamma^i_{00}=0\$

而在 TT 规范下，

$\Gamma^i_{tt}=\Gamma_{itt}=\dfrac{1}{2}(2\partial_t A_{j0}^{TT}-\partial_jA_{00}^{TT})=0\$

于是我们得到了

$\dfrac{d^2 x^i}{d t^2}=0\$

即引力波对物体的运动没有影响。这看上去很荒谬吗？不是的，这里说的只是测地线，即一个自由落体的运动，让我们考虑两个在 $x$ 轴上相距为 $L_c$ 的两个自由粒子，显然，这两个粒子之间的时空间隔会随着引力波的到来而改变，

$\begin{aligned} L&=\int^{L_c}_0 d x\sqrt{g_{xx}}=\int^{L_c}_0 dx \sqrt{1+A_{11}^{TT}(t,z=0)}\\ &\approx \int^{L_c} d x [1+\dfrac{1}{2}A_{11}^{TT}(t,z=0)]=L_c [1+\dfrac{1}{2}A_{11}^{TT}(t,z=0)] \end{aligned}\$