同学们好!

首先可能还是要很抱歉的和大家说一句。因为这一个学期的学期安排的压力实在过大(我真不是吹,只要有一天休息,就要多赶三四天的作业)。所以如果时间不允许,原书对应第五章的笔记可能不会出现在这里。(我也不怕丢人了,我的数值分析,复变,数分什么的都还是零起步,如果不复习我可能要挂)这真的是我的无奈之举,因为这个学期的课程压力超越了我能够承受的极限(这学期的11门课没有任何一门是简单的,而且实变和拓扑学过的都知道,是很困难的两门课,意味着不敢通过突击的方式解决),意味着有很多需要按照正轨来走的步骤需要“抄近道”,需要采取突击的方式来解决。

废话不多说了,我们继续赶第四章的笔记。

提供之前的笔记:

我们开始本节的内容,本书所对应原书内容为P163-181

可积函数与连续函数

显然这一部分是根据可测函数与连续函数的密切关系来引申出来的。它也有很多应用。

Theorem 1:
f \in L(E) ,那么对任意的 \epsilon>0 ,存在 \mathbb{R}^n 上具有紧支集的连续函数 g(x) 使得 \int_E |f(x)-g(x)| dx <\epsilon

首先根据 f \in L(E) 可知存在 \mathbb{R}^n 上的具有紧支集的可测简单函数 \varphi(x) 使得 \int_E |f(x)-\varphi(x)|dx<\epsilon/2 。所以如果要证明原来的结论,考虑 \int_E |\varphi(x)-g(x)|dx 是必要的。

根据Lusin定理的推论(原书3.19)可得存在具有紧支集的连续函数 g(x) 使得 |g(x)| \le M(x \in \mathbb{R}^n) ,且 m(\{x \in E : |\varphi(x)-g(x)|>0\})<\epsilon/(4M) 。这样的话,根据 |\varphi(x)-g(x)| \le 2|\varphi(x)| \le 2M 可得 \int_E |\varphi(x)-g(x)|dx < \epsilon/2 。将两部分加在一起即可。

它一共有四个推论。简单的两个推论如下,我们不再给出详细的证明。

Corollary 1:
f \in L(E) ,那么存在 \mathbb{R}^n 上具有紧支集的连续函数列 \{g_k(x)\} ,使得
(1) \lim_{k \to \infty}\int_E |f(x)-g_k(x)|dx=0
(2) \lim_{k \to \infty}g_k(x)=f(x), ~ a.e. ~ x\in E
Corollary 2:
f \in L([a,b]) ,那么存在其支集在 (a,b) 内的连续函数列 \{g_k(x)\} ,使得
(1) \lim_{k \to \infty}\int_{[a,b]}|f(x)-g_k(x)|dx=0
(2) \lim_{k \to \infty}g_k(x)=f(x),~ a.e. ~ x \in [a,b]

书上给了一个例子,可以认为是一个函数几乎处处为0的一个判别法。

Example 1:
f \in L (\mathbb{R}^n) ,若对一切 \mathbb{R}^n 上的具有紧支集的连续函数 \varphi(x) 。有 \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi(x)dx=0 。那么 f(x)=0 ~ a.e. ~ x \in \mathbb{R}^n

我们采用反证法来解决这个问题。设 f(x) 在有界正测集 E 上有 f(x)>0 ,那么可以作具有紧支集的连续函数列 \{\varphi_k(x)\} ,使得 \lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R^n}}|\chi_E(x)-\varphi_k(x)|dx=0 ,并且有 |\varphi_k(x)| \le 1,\lim_{k \to \infty}\varphi_k(x)=\chi_E(x) , ~ a.e. x \in E

根据 |f(x)\varphi_k(x)| \le |f(x)| 和控制收敛定理,可以得到 0< \int_E f(x)dx = \int_{\mathbb{R}^n}f(x)\chi_E(x)x=\lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\varphi_k(x)dx=0 ,就产生了矛盾。

回到正题,继续说这个定理的相关推论。

Corollary 3:
f \in L(\mathbb{R}^n) ,那么 \lim_{h \to 0}\int_{\mathbb{R}^n}|f(x+h)-f(x)|dx=0

我们回到Theorem 1做一番观察,不难得到,对于任意一个可积的函数 f(x) ,都会存在一种分解 f(x)=(f(x)-g(x))+g(x) 使得 f(x)-g(x) 的积分任意小,而 g(x) 是具有紧支集的连续函数。所以根据这个思路,设 f(x)=f_1(x)+f_2(x) ,就可以设 f_1(x) 为具有紧支集的连续函数, f_2(x) 满足 \int_{\mathbb{R}^n}|f_2(x)|dx<\epsilon/4

注意 f_1(x) 还是一个一致连续的函数(非零的范围是一个有界闭集),所以存在 \delta>0 ,使得 |h|<\delta 时有 \int_{\mathbb{R}^n}|f_1(x+h)-f_1(x)|dx<\epsilon/2 。故 \int_{\mathbb{R}^n}|f(x+h)-f(x)|dx < \int_{\mathbb{R}^n}|f_1(x+h)-f_1(x)|dx+\int_{\mathbb{R}^n}|f_2(x+h)-f_2(x)|dx \le \epsilon/2+2\int_\mathbb{R^2}|f_2(x)|x<\epsilon ,就证明了结论。

Corollary 4:
f \in L(E) ,那么存在具有紧支集的阶梯函数列 \{\varphi_k(x)\} ,使得
(1) \lim_{k \to \infty}\varphi_k(x)=f(x) ~ a.e. x \in E
(2) \lim_{k \to \infty}\int_E |f(x)-\varphi_k(x)| dx =0

根据Theorem 1可以得到,对任意的 \epsilon>0 ,存在 \mathbb{R}^n 上的具有紧支集的连续函数 g(x) 使得 \int_E |f(x)-g(x)|dx<\epsilon/2 。那么不妨设 g(x) 的支集含于某一个闭正方体 I=\{x=(\zeta_1,\zeta_2,\cdots,\zeta_n): -k_0 \le \zeta_i \le k_0(i=1,\cdots,n),k_0 \in \mathbb{N}^*\} 中,这样容易得到,存在支集含于 I 内的阶梯函数 \varphi(x) 使得 \varphi(x)=\sum_{i=1}^{N}c_i\chi_{I_i}(x),\int_I |g(x)-\varphi(x)|dx<\epsilon/2 ,其中每一个 I_i 为含于 I 内的矩体。故 \int_E |f(x)-\varphi(x)|dx \le \int_E |f(x)-g(x)|dx+\int_E |g(x)-\varphi(x)|dx \le \epsilon

针对每一个 \epsilon 我们都已经取定了一个 \varphi(x) ,所以我们只需要再令 \epsilon_k = 1/k 。这样的话,就容易得到 \lim_{k \to \infty}\int_E |f(x)-\varphi_k(x)|dx=0

现在如何证明第一条结论呢?只需要注意到设 E_k(\delta)=\{x \in E : |f(x)-\varphi_k(x)| \ge \delta\} ,其中 \delta>0 任意给定。那么根据 \delta m (E_k(\delta)) \le \int_E |f(x)-\varphi_k(x)|dx 可知 m(E_k(\delta)) \to 0(k \to \infty) 。也就是依测度收敛。那么根据Riesz定理即可得到,存在 \{\varphi_k(x)\} 中的子列几乎处处收敛于 f(x) ,这个子列自然满足题意。

这个定理相当于把连续函数的相关性质由简单函数推广到了阶梯函数的情况(阶梯函数的意思是说把简单的集合换成了矩体,具体可以见Stein笔记的相关内容)。

好的,来看一个书上的例子。

Example 1:Riemann-Lebesgue的推广
\{g_n(x)\}[a,b] 上的可测函数列,且
(1) |g_n(x)| \le M (x \in [a,b]) ( n=1,2,\cdots)
(2)对任意的 c \in [a,b] ,有 \lim_{n \to \infty}\int_{[a,c]}g_n(x)dx=0
则对任意的 f \in L([a,b]) ,有 \lim_{n \to \infty} \int_{[a,b]}f(x)g_n(x)dx=0

首先,我们根据上一个推论,可以得到,对于任意的 \epsilon>0 ,可作阶梯函数 \varphi(x) ,使得 \int_{[a,b]}|f(x)-\varphi(x)|dx<\epsilon/(2M) 。那么设 \varphi(x)=\sum_{i=1}^{p}y_i\chi_{[x_{i-1},x_i)}(x),x \in [a,b) (别忘了在一维的时候,矩体也就是区间)。其中 a=x_0<x_1<\cdots<x_p=b 。又因为 |\int_{[a,b]}\varphi(x)g_n(x)dx| \le \sum_{i=1}^{p} |y_i \int_{[x_{i=1},x_i]}g_n(x)dx| ,所以根据假设可得,存在 n_0 ,使得 n \ge n_0 时有 |\int_{[a,b]}\varphi(x)g_n(x)dx| \le \epsilon/2 。另一方面,因为我们知道 g_n(x) 是有界的,所以 |\int_{[a,b]}f(x)g_n(x)dx| \le |\int_{[a,b]}(f(x)-\varphi(x))g_n(x)dx|+|\int_{[a,b]}\varphi(x)g_n(x)dx| \le \epsilon ,就证明了结论。

所以说,这一部分的内容其实都是大同小异的思路方法。比如说这一个例题,归根到底还是要根据函数有界或者积分值无限小,对研究的函数 f(x) 分解为 (f(x)-\varphi(x))+\varphi(x) 即可。

有人可能会问Lesbegue-Riemann引理是什么。它就是

\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{2\pi}f(x)\sin (nx)dx=\lim_{n \to \infty}\int_0^{2\pi}f(x)\cos (nx)dx=0

Lebesgue积分与Riemann积分的关系

这一块内容在Stein里就是一个小结论。在国内的书上则铺垫了比较多的内容。

首先从熟悉的情况开始

Notation 1:
a=x_0^{(n)}<x_1^{(n)}<\cdots<x_{k_n}^{(n)}=b(n=1,2,\cdots) 是符合Riemann积分定义的极限分划。令 M_i^{(n)}=\sup \{f(x): x_{i-1}^{(n)} \le x \le x_i^{(n)}\},m_i^{(n)}=\inf \{f(x): x_{i=1}^{(n)} \le x \le x_i^{(n)}\} 。那么定义积分的Darboux上下积分为 \bar \int_a^b f(x)dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{k_n}M_i^{(n)} (x_i^{(n)}-x_{i-1}^{(n)})\underline \int_a^b f(x)dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{k_n}m_i^{(n)} (x_i^{(n)}-x_{i-1}^{(n)})

首先,铺垫一个引理。

Lemma 1:
f(x) 为定义在 I=[a,b] 上的有界函数,令 \omega(x)f(x)[a,b] 上的振幅函数,那么 \int_I \omega(x)dx=\bar \int_a^b f(x)dx-\underline \int_a^b f(x)dx

首先要知道的是, \omega(x)[a,b] 上的有界可测函数,因此它可积。

针对一个固定的分划序列 \{\Delta^{(n)}\} ,设

\omega_{\Delta^{(n)}}(x)=\begin{cases}M_i^{(n)}-m_i^{(n)} & x \in (x_{i-1}^{(n)},x_i^{(n)} ) \\ 0 & x是\Delta^{(n)}的分点\end{cases} ,并且设 E=\{x \in [a,b]: x为\Delta^{(n)}(n=1,2,\cdots)的分点\} ,那么 m(E)=0 ,并且有 \lim_{n \to \infty}\omega_{\Delta^{(n)}}(x)=\omega(x), x \in [a,b] \backslash E 。并且根据有界性和有界收敛定理,可得 \lim_{n \to \infty}\int_I \omega_{\Delta^{(n)}}(x)dx = \int_I \omega(x)dx

另一方面,根据勒贝格积分的定义,可得 \int_{I} \omega_{\Delta^{(n)}}(x)dx=\sum_{i=1}^{k_n}(M_i^{(n)}-m_i^{(n)})(x_i^{(n)}-x_{i-1}^{(n)}) ,所以两边令 n \to \infty ,根据Darboux上下积分的定义即可得到结论。

其实也不难看出来,这一部分就是在模仿Riemann积分的划分的“加细”的过程。只不过这个过程的证明有效性,在实分析里,用控制收敛定理得到了保证。

下面,就可以给出在实分析里有关Riemann积分的两个最重要的结论了。

Theorem 2:
f(x)[a,b] 上的有界函数,那么 f(x)[a,b] 上Riemann可积的充要条件是 f(x)[a,b] 上的不连续点集是零测集。

一方面,如果 f(x)[a,b] 上Riemann可积,那么函数的上下积分相等,也就是说振幅函数积分为0。因为 \omega(x) \ge 0 ,所以 \omega(x)=0 ~ a.e. ~ x\in [a,b] ,也就是说 f(x)[a,b] 上几乎处处连续。

另一方面,如果振幅函数几乎处处为0,那么根据引理自然可以得到积分的Darboux上下积分相等,这就足够证明函数Riemann可积了。

Theorem 3:
f(x)I=[a,b] 上Riemann可积,那么 f(x)[a,b] 上Lebesgue可积,并且其积分值相同。

首先根据Theorem 2可知 f(x)[a,b] 上几乎处处连续,所以几乎处处有界,这可以说明 f \in L(I) 。其次,作 [a,b] 的一个分划 \Delta: a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n =b 。那么会有 \int_I f(x)dx=\sum_{i=1}^{n} \int_{[x_{i-1},x_i]}f(x)dx 。而 m_i (x_i-x_{i-1}) \le \int_{[x_{i-1},x_i]}f(x)dx \le M_i(x_i-x_{i-1})(i=1,2,\cdots,n) ,故可得到 m_i (x_i-x_{i-1}) \le \int_I f(x)dx \le M_i(x_i-x_{i-1})(i=1,2,\cdots,n) 。根据这个积分Riemann可积,即可得到上下积分相等。因此左右两边对一切分划各取上下确界,即可得到  \int_I f(x)dx = \bar \int_a^b f(x)dx=\underline \int_a^b f(x)dx ,这就是想要的结论。

要注意到的是,这一部分所探讨的Lesbegue积分和Riemann积分的关系,目前还只是在有界函数的情况下的。但是无界的情况可能就不是这么简单了。

Theorem 4:
\{E_k\} 是递增的可测集列,并集为 E ,又 f \in L(E_k)(k=1,2,\cdots) ,那么若极限 \lim_{k \to \infty}\int_{E_k}|f(x)|dx 存在,则 f \in L(E) ,并且 \int_E f(x)dx = \lim_{k \to \infty}\int_{E_k}f(x)dx

首先要注意到的是 \lim_{k \to \infty}|f(x)|\chi_{E_k}(x)=|f(x)|,x \in E ,所以根据Levi非负函数渐升列积分定理可知 \int_E|f(x)|dx=\lim_{k \to \infty}\int_E |f(x)|\chi_{E_k}(x)dx=\lim_{k \to \infty}\int_{E_k}|f(x)|dx<+\infty 。这样的话就得到了 f 可积。结合 |f(x)\chi_{E_k}(x)| \le |f(x)| 可知 \lim_{k \to \infty}\int_{E_k}f(x)dx=\int_E f(x)dx (控制收敛定理),这就证明了结论。

也就是说,这里的Lesbegue积分其实针对的是绝对收敛的积分。在积分绝对收敛的情况下,可以通过计算Riemann函数的值来得到对应的Lesbegue积分的值。

下面来看一个例子,虽然我觉得它和之前的定理啥的没啥联系……

Example 2:
I=\int_0^1\frac{\ln x}{1-x}dx

注意到 -\frac{\ln x}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}-x^n\ln x 以及 \int_0^1x^n\ln xdx=-\frac1{(n+1)^2} 即可得到 \int_0^1 -\frac{\ln x}{1-x}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{(n+1)^2}=\frac{\pi^2}{6} 。所以原式的结果是 -\pi^2/6

Fubini定理

我们在Stein笔记的第六节已经涉及到了这一部分的内容。但是国内的教材中在这一块的证明思想稍有不同。

其实这个定理关注的就是一个内容: \int_{\mathbb{R}^n}f(x,y)dxdy=\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy 何时成立?

废话不多说,直接开始我们的证明。根据书上的思路,我们先从非负可测函数开始。

Theorem 5:Tonelli
f(x,y)\mathbb{R}^n=\mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q 上的非负可测函数。那么
(1)对于几乎处处的 x \in \mathbb{R}^pf(x,y) 作为 y 的函数是 \mathbb{R}^q 上的非负可测函数。
(2)设 F_f(x)=\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy ,那么 F_f(x)\mathbb{R}^p 上的非负可测函数。
(3) \int_{\mathbb{R}^p}F_f(x)dx=\int_{\mathbb{R}^p}F_f(x)dx=\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy=\int_{\mathbb{R}^n}f(x,y)dxdy

思路和Stein一样,记满足这三个条件的函数类为 \mathcal{F} ,然后证明我们想要的函数都在这个函数类内。这个证明很长,所以需要先给一个引理,简化一下。

Lemma 2:
(1)若 f \in \mathcal{F}a \ge 0 ,那么 af \in \mathcal{F}
(2)若 f_1,f_2 \in \mathcal{F} ,那么 f_1+f_2 \in \mathcal{F}
(3) f,g \in \mathcal{F} ,那么若 f(x,y)-g(x,y) \ge 0,g \in L(\mathbb{R}^n) ,那么 f-g \in \mathcal{F}
(4)若 f_k \in \mathcal{F}(k=1,2,\cdots),f_k(x,y) \le f_{k+1}(x,y)(k=1,2,\cdots) ,且 \lim_{k \to \infty}f_k(x,y)=f(x,y),(x,y) \in \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q ,那么 f \in \mathcal{F}

首先根据积分的线性性质可得(1)(2)成立。对于(3),注意到根据 g 在这个函数类,且可积,可以得到 F_g(x) 几乎处处有限(根据Tonelli提供的第三个条件)。之后再转换一下角度,可知对于几乎处处的 xg(x,y) 看成 y 的函数在 \mathbb{R}^q 上几乎处处有限(第二个条件)。所以根据 f=(f-g)+g 即可得到 f-g 满足三个条件。

而对于第四个结论,对于第一个条件爱你,这是显然成立的。对于第二个条件,只需要注意到Levi定理有 \int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy=\lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy 。而针对第三个条件,我们还是要用一下Levi定理。注意到 \int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy=\lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy=\lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy=\int_{\mathbb{R}^p}\left[\lim_{k \to \infty}\int_{\mathbb{R}^q}f_k(x,y)dy\right]dx=\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}\lim_{k \to \infty}f_k(x,y)dy 即可。

这个证明的式子虽然看上去很繁杂,但是实际上,它的所有的积分规则和顺序我们并不陌生,和数分三一样的思路去走就好。

好的,我们开始证明这个比较重要的大定理。结合前面这个引理,其实我们只需要证明在可测集 E 上的特征函数 \chi_E(x,y) 都是在 \mathcal{F} 里的即可(想想为什么)。但是 E 本身也是有很多种的,这就需要对 E 做比较多的讨论了。

第一,考虑 E= I_1 \times I_2 的情况,其中 I_1,I_2\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^q 的矩体。那么自然有 \int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x,y)dxdy=|I_1| \times |I_2| 。此外对于每一个 x \in \mathbb{R}^p\chi_E(x,y) 还是 \mathbb{R}^q 上的非负可测函数,并且 F_{\chi}(x)=\begin{cases}|I_2| & x \in I_1 \\ 0 & x \not \in I_1\end{cases} (不难想吧?)。所以 \int_{\mathbb{R}^p}F_\chi(x)dx=|I_1 | \times |I_2| ,就说明了 \chi_E \in \mathcal{F}

第二,考虑 E 是开集的情况。注意到在 \mathbb{R}^n 中,开集可以表示为互不相交的半开闭矩体(我不知道我之前有没有说过,如果你们之前不知道,那么你们现在知道了)。所以 \chi_E \in \mathcal{F} 自然也成立。

第三,考虑 E 是有界闭集,那么只需要注意到它可以写成两个有界开集 G_2,G_1(G_2 \supset G_1) 的差即可由引理的第三个情况得到想要的结论。

第四,考虑 \{E_k\} 为递减可测集合列,并设 E = \bigcap_{k=1}^{\infty}E_k ,仿照引理中(4)的证明方法可得,若 \chi_{E_k} \in \mathcal{F} ,那么 \chi_E \in \mathcal{F}

第五,若 E 是零测集,那么 \chi_E \in \mathcal{F} ,这是因为存在开集列 \{G_k\},G_k \supset E(k=1,2,\cdots) ,使得 \lim_{k \to \infty}m(G_k)=0 。令 H=\bigcap_{k=1}^{\infty}G_k\chi_H \in \mathcal{F} 。又 E \subset H,m(H)=0 ,可得 \int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}\chi_H(x,y)dy=0 ,自然根据包含关系容易推出来 \int_{\mathbb{R}^n}\chi_E(x,y)dxdy=0=\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}\chi_E(x,y)dy 。同样还可以得到对于几乎处处的 x \in \mathbb{R}^p ,有 F_{\chi_E}(x)=\int_{\mathbb{R}^p}\chi_E(x,y)dy=0 (积分值都是0了,又是非负的,自然可以推出来这个结论)。所以对于几乎处处的 x \in \mathbb{R}^p ,有 \chi_E(x,y)=0 ~ a.e. \mathbb{R}^q 。这就说明了它满足了这个函数类的第1,2个条件。就证明了结论。

第六,若 E 是一般可测集,那么 \chi_E \in \mathcal{F} ,这是因为根据Lemma 2.13可以得到 E = (\bigcup_{k=1}^{\infty}F_k)\cup Z ,其中 F_k 是有界闭集, m(Z)=0 。不难证明 \chi_K \in \mathcal{F} (我懒,我懒……),再根据 \chi_E(x,y) = \chi_K(x,y)+\chi_Z(x,y) 即可得到 \chi_E \in \mathcal{F}

最后,我们根据这个引理,给出最后一个定理——Fubini定理的证明,这也是我们要介绍的最后一部分内容(在时间范围内……)

Theorem 6:Fubini
f \in L (\mathbb{R}^n),(x,y) \in \mathbb{R}^n=\mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^q ,那么
(1)对于几乎处处的 x \in \mathbb{R}^pf(x,y)\mathbb{R}^q 上的可积函数。
(2)积分 \int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy\mathbb{R}^p 上的可积函数。
(3) \int_{\mathbb{R}^n}f(x,y)dxdy=\int_{\mathbb{R}^p}dx\int_{\mathbb{R}^q}f(x,y)dy=\int_{\mathbb{R}^q}dy\int_{\mathbb{R}^p}f(x,y)dx

事实上,只需要令 f(x,y)=f^+(x,y)-f^-(x,y) ,那么根据Theorem 5就可以得到 f^+(x,y),f^-(x,y) 都满足Theorem 5的条件,注意到所有的积分值都是有限的,所以可以作减法,就可以得到结论。

小结

本节结束了书上的第四章相关的内容,介绍了有关勒贝格积分的应用相关定理以及Fubini定理。其实这一部分定理证明的思想和过程大多都是有迹可循的,所以难度倒也不是特别大。多琢磨几遍就好了。

抱歉这么久才发出来这一篇,具体之后的打算已经发布在了“想法”内,也感谢大家一直以来的支持!

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来源:知乎 www.zhihu.com

作者:刘理

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