数学在物理中应用非常广泛。甚至可以说,很多数学就是脱胎于物理的需要而产生的。很多人就此产生了数学是依附于物理的感觉。他们不禁要问:脱离物理的数学还有意义吗?

这个问题的回答是:数学的意义,正是它能够脱离一切具体的研究对象,包括物理。

图片来自pixabay

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举个例子。人们一开始定义实数,是因为它描述了物理世界中发生的事情,比如说距离和时间。那么,如果我们最后发现这个宇宙其实符合所谓的“数字宇宙”原则,也就是说拥有最小的组成单元,而其他一切东西都可以由此推出,那么是不是意味着实数就失去了意义?

并不是,原因有几个:

首先,实数的定义本身有其必然性。实数,其实就是有理数的自然延伸。有理数虽然运算很容易,但有一个问题,就是它不允许取极限,或者说,它构成的度量空间不是完备的。而作为度量空间,有理数的完备化自然给出了实数。而完备空间的概念也是自然的,因为它就是度量空间上连续性的体现,而连续性本身也是自然的,因为它本质上就是对元素的无限序列的一种考虑。

其次,实数的用处,不仅在于最基础的物理。所有有关概率的问题,比如说统计物理的问题,实质上都需要用到实数的概念。这是因为,通过将离散转化为连续,很多时候问题就能大大简化。即使在最基础的物理中,比如弦论,也需要用到很多高深的数学,比如霍奇积分等等,这些高深的数学也需要奠基在实数的基础上。

另外,即使宇宙拥有最小的组成单元,根据量子物理,概率(或者说希尔伯特空间)仍然是本质和必要的,而这就是奠基于复数以及实数的。基本上,在目前所有最前沿的理论中,都需要用到概率的元素,也就是实数。

最后,也是最重要的:实数在许多领域中都有着应用,而即使不考虑这些应用,实数本身就有研究价值。

数学最大的价值,不在于它有多少应用。应该反过来说,正是因为数学的研究方法,所以它能用到各种地方。

很多人也许会觉得,数学就是用于计算的学科,很多人在学习数学时,因为这种想法,往往只去机械地记住公式然后计算,却不去理解这些公式是怎么来的,也不在意这些定理的来源。这种想法其实不好,相当于将数学最有价值的部分丢弃了。

数学是什么?数学是研究抽象结构以及它们之间关系的学科。正因为它们没有具体附着在任何东西上面,所以它们能应用到任何条件合适的问题上。只要符合实数的公理,无论是物理量,还是生物种群,又或者社会心理,实数的数学理论都能用上。正因为它什么都不是,所以它什么都是。

所以说,数学,正是因为能够通过抽象这一利器,脱离物理,脱离化学,脱离一切学科,它才拥有了普适的意义。数学的意义不在于它能帮助我们解决某一个学科的问题,而在于无论什么问题,只要符合一定的前提,都能利用同一套数学理论解决。

这就是为什么数学是最基础的工具,也是科学的女王。

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