要退学了 肯定要学习啊 不学习没有学上
May 这方面 看懂是不可能看懂的 这辈子不可能看懂的
做题又不会做 就是抄书才能维持的了学习这样子

我,陆葳蕤,智障,学不会,抄书,女装。今天我们来抄同调论吧!

给定 Abel 群 \pi\pi 决定的一个同调理论是指一列同伦拓扑空间偶范畴到 Abel 群范畴的函子 H_n(X,A;\pi) ,称为相对同调群;对每个 q 是正整数,装备了自然变换 \partial_q : H_q(X,A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(A;\pi)

,其中 H_n(X;\pi) := H_n(X,\emptyset;\pi) ;函子和自然变换满足以下公理:

  • 维数公理: 对单点集 pH_0(p;\pi)=\pi;H_i(p;\pi)=0,i \ne 0
  • 正合公理: \dots \rightarrow H_q(X,A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(X;\pi) \rightarrow H_{q-1} (X,A;\pi) \rightarrow \dots 是自然的长正合列
  • 切除公理:对 (X;A,B)Excisive triad,嵌入 (A,A \cap B) \rightarrow (X,B) 诱导出相对同调群间同构 H_n(A,A \cap B;\pi) \rightarrow H_n(X,B;\pi)
  • 加法公理:每个 H_n 函子保持 coproduct,即如果 (X,A)= \cup_i (X_i,A_i) 是不交并,则嵌入映射总诱导出同构 \bigoplus_i H_n(X_i,A_i;\pi) \cong H_n(X,A;\pi)
  • 弱等价公理:弱等价 f : (X,A) \rightarrow (Y,B) 给出所有同调群间同构

通过做 CW 逼近,我们可以期待这定义有一个 CW 复形版本,精确地说,就是:

给定 Abel 群 \pi\pi 决定的一个 CW 复形同调理论是指一列同伦 CW pair 范畴到 Abel 群范畴的函子 H_n(X,A;\pi) ,称为相对同调群;对每个 q 是正整数,装备了自然变换 \partial_q : H_q(X,A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(A;\pi)

,其中 H_n(X;\pi) := H_n(X,\emptyset;\pi) ;函子和自然变换满足以下公理:

  • 维数公理: 对单点集 pH_0(p;\pi)=\pi;H_i(p;\pi)=0,i \ne 0
  • 正合公理: \dots \rightarrow H_q(X,A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(X;\pi) \rightarrow H_{q-1} (X,A;\pi) \rightarrow \dots 是自然的长正合列
  • 切除公理:对 (X;A,B) 是 CW traid,嵌入 (A,A \cap B) \rightarrow (X,B) 诱导出相对同调群间同构 H_n(A,A \cap B;\pi) \rightarrow H_n(X,B;\pi)
  • 加法公理:每个 H_n 函子保持 coproduct,即如果 (X,A)= \cup_i (X_i,A_i) 是不交并,则嵌入映射总诱导出同构 \bigoplus_i H_n(X_i,A_i;\pi) \cong H_n(X,A;\pi)

给定一个 CW 复形同调理论,考虑函子的复合 \mathrm{hPTop} \rightarrow \mathrm{hPCW} \rightarrow \mathrm{Abelian},其中第一个箭头是 CW 逼近函子,第二个箭头是相对同调群函子;我们知道任何两个 CW 逼近函子总是自然同构的,从而这个复合不依赖于第一个函子的挑选,可以假设第一个函子挑选得足够好,从而切割公理得到满足,对这复合给出一个同调理论的其它公理的验证都平凡。

另一方面,CW triad 都同伦等价到Excisive triad。从而我们可以断言:一个通常同调理论限制到一个 CW 复形同调理论。这也就是说:一个同调理论决定,且仅被其在 CW 对上的表现所决定。

我们接下来给出一个 CW 复形同调理论,with \pi = Z ,——从而给出一个通常同调理论,事实上,同调理论被公理唯一确定,但我们不会在这里证明这件事。

对于一个 CW 复形偶 (X,A) ,设它有 J_n 个 n-cell,则定义 C_n\bigoplus_{j \in J_n} Z,每个 n-cell 对应一个  (D^n,S^{n-1}) \rightarrow (X^n,X^{n-1}),从而对应一个 S^{n-1} \rightarrow X^{n-1} \rightarrow X^{n-1}/X^{n-2} \cong \bigvee_{J_{n-1}} S^{n-1},记为 p_j ,对每个 i \in J_{n-1},考虑 a_{i,j} := \mathrm{deg}(\pi_i \circ p_j),其中 \pi_i指一点并到第 i 个分量的投影;定义 d : C_n \rightarrow C_{n-1}d(j)=\sum_i a_{i,j} i ,我们将验证: (C,d) 是一个链复形,并且确给出一个同调理论。

为此,我们来看如何描述 d

  • 考虑 cofibration i : X^{n-1} \rightarrow X^n ,考虑\partial_n : X^n/X^{n-1} \rightarrow C_i=X^{n-1} \times I \cup X^n /(X^{n-1} \times {1}) \rightarrow \Sigma X^{n-1} \rightarrow \Sigma(X^{n-1}/X^{n-2})\Sigma 是 unreduced suspension,第一个箭头是到 homotopy cofiber 的同伦等价,第二、第三个箭头都是自然的。
  • \Sigma : \pi_{n-1}(X^{n-1}/X^{n-2}= \vee S^{n-1}) \rightarrow \pi_n( \Sigma(X^{n-1}/X^{n-2})) 是同构,它由 suspension map 诱导出来。

我们记 \phi_n : C_n(X) \rightarrow \pi_n(X^n/X^{n-1}) 是自然的同构,考虑 d'_n : \pi_n(X^n/X^{n-1}) \rightarrow \pi_{n-1} (X^{n-1}/X^{n-2}) , d'_n= \Sigma_{\star}^{-1} \circ \partial_{n_\star} ,我们最重要的观察是:下图交换

这源于以下的交换图(精确到同伦)

这张图的第二列最后一个映射,是指一个 n-1 维球面间的度 aij 的映射的 suspension;最后两列交换,是源于 pair map 的自然性;前两列的交换可以直接验证。注意到 d'n 作用在 \pi_n(X_n/X_{n-1}) 的每个基上的结果限制在 \pi_{n-1}(X_{n-1}/X_{n-2}) 每个基上,就相当于交换图上从左上角走到第二列最右方再复合 \Sigma^{-1} ,而这图交换就说明我们的观察成立。

特别地,这给出 d^2=0 ,这是因为只需要验证 (d')^2=0 ,而它就是 \Sigma_{\star}^{-1} \circ \partial_{{n-1}_\star} \circ \Sigma_{\star}^{-1} \circ \partial_{n_\star} ,只需验证  \partial_{{n-1}_\star} \circ \Sigma_{\star}^{-1} \circ \partial_{n_\star} =0 ,只需验证 \Sigma \partial_{{n-1}_\star} \circ \partial_{n_\star} =0 ,而这是因为下图交换,而上部分同伦平凡。

我们已经验证了我们确实构造出一组链复形——特别地,同调群;现在我们定义 C(X,A)_n := C(X)_n/C(A)_n ,容易验证它是 C(X/A)_n 除了在零维时为零;它当然典范地成为链复形,并且有链复形正合列 0 \rightarrow C(A) \rightarrow C(X) \rightarrow C(X,A) \rightarrow 0 ,我们定义相对同调群 H_n(X,A) := H_n(C(X,A)) ,为了验证它的函子性,注意到 celluar map f: X \rightarrow Y 诱导出 f' : X^n/X^{n-1} \rightarrow Y^n/Y^{n-1} ,而这自然给出 C(X)_n \rightarrow C(Y)_n 的映射,特别,它和 d' 交换,从而它确是链映射;对相对情况,由于有自然同构 H_n(X,A)=H_n(X/A) (除零维),从而对 X/A 的函子性保持了相对同调的函子性。

把它应用在 (X,A) \times I \rightarrow (Y,B) 的 celluar map 上就得到相对同调函子事实上定义在同伦范畴上;而正合公理、维数公理、加法公理是平凡的,切除公理由 A/A \cap B \rightarrow A \cup B / B 是同胚给出。

最后,通过定义 C(X) \otimes \pi ,我们可以定义出一个 \pi 决定的 CW复形同调理论。

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:陆葳蕤

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