代数拓扑抄书笔记 Vol. 2

要退学了肯定要学习啊不学习没有学上
May 这方面看懂是不可能看懂的这辈子不可能看懂的
做题又不会做就是抄书才能维持的了学习这样子

我，陆葳蕤，智障，学不会，抄书，女装。今天我们来抄同调论吧！

给定 Abel 群 $\pi$ ， $\pi$ 决定的一个同调理论是指一列同伦拓扑空间偶范畴到 Abel 群范畴的函子 $H_n(X,A;\pi)$ ，称为相对同调群；对每个 $q$ 是正整数，装备了自然变换 $\partial_q : H_q(X,A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(A;\pi)$

，其中 $H_n(X;\pi) := H_n(X,\emptyset;\pi)$ ；函子和自然变换满足以下公理：

维数公理：对单点集 $p$ 有 $H_0(p;\pi)=\pi;H_i(p;\pi)=0,i \ne 0$
正合公理： $\dots \rightarrow H_q(X,A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(X;\pi) \rightarrow H_{q-1} (X,A;\pi) \rightarrow \dots$ 是自然的长正合列
切除公理：对 $(X;A,B)$ 是Excisive triad，嵌入 $(A,A \cap B) \rightarrow (X,B)$ 诱导出相对同调群间同构 $H_n(A,A \cap B;\pi) \rightarrow H_n(X,B;\pi)$
加法公理：每个 $H_n$ 函子保持 coproduct，即如果 $(X,A)= \cup_i (X_i,A_i)$ 是不交并，则嵌入映射总诱导出同构 $\bigoplus_i H_n(X_i,A_i;\pi) \cong H_n(X,A;\pi)$
弱等价公理：弱等价 $f : (X,A) \rightarrow (Y,B)$ 给出所有同调群间同构

通过做 CW 逼近，我们可以期待这定义有一个 CW 复形版本，精确地说，就是：

给定 Abel 群 $\pi$ ， $\pi$ 决定的一个 CW 复形同调理论是指一列同伦 CW pair 范畴到 Abel 群范畴的函子 $H_n(X,A;\pi)$ ，称为相对同调群；对每个 $q$ 是正整数，装备了自然变换 $\partial_q : H_q(X,A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(A;\pi)$

，其中 $H_n(X;\pi) := H_n(X,\emptyset;\pi)$ ；函子和自然变换满足以下公理：

维数公理：对单点集 $p$ 有 $H_0(p;\pi)=\pi;H_i(p;\pi)=0,i \ne 0$
正合公理： $\dots \rightarrow H_q(X,A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(A;\pi) \rightarrow H_{q-1}(X;\pi) \rightarrow H_{q-1} (X,A;\pi) \rightarrow \dots$ 是自然的长正合列
切除公理：对 $(X;A,B)$ 是 CW traid，嵌入 $(A,A \cap B) \rightarrow (X,B)$ 诱导出相对同调群间同构 $H_n(A,A \cap B;\pi) \rightarrow H_n(X,B;\pi)$
加法公理：每个 $H_n$ 函子保持 coproduct，即如果 $(X,A)= \cup_i (X_i,A_i)$ 是不交并，则嵌入映射总诱导出同构 $\bigoplus_i H_n(X_i,A_i;\pi) \cong H_n(X,A;\pi)$

给定一个 CW 复形同调理论，考虑函子的复合 $\mathrm{hPTop} \rightarrow \mathrm{hPCW} \rightarrow \mathrm{Abelian}$ ，其中第一个箭头是 CW 逼近函子，第二个箭头是相对同调群函子；我们知道任何两个 CW 逼近函子总是自然同构的，从而这个复合不依赖于第一个函子的挑选，可以假设第一个函子挑选得足够好，从而切割公理得到满足，对这复合给出一个同调理论的其它公理的验证都平凡。

另一方面，CW triad 都同伦等价到Excisive triad。从而我们可以断言：一个通常同调理论限制到一个 CW 复形同调理论。这也就是说：一个同调理论决定，且仅被其在 CW 对上的表现所决定。

我们接下来给出一个 CW 复形同调理论，with $\pi = Z$ ，——从而给出一个通常同调理论，事实上，同调理论被公理唯一确定，但我们不会在这里证明这件事。

对于一个 CW 复形偶 $(X,A)$ ，设它有 $J_n$ 个 n-cell，则定义 $C_n$ 为 $\bigoplus_{j \in J_n} Z$ ，每个 n-cell 对应一个 $(D^n,S^{n-1}) \rightarrow (X^n,X^{n-1})$ ，从而对应一个 $S^{n-1} \rightarrow X^{n-1} \rightarrow X^{n-1}/X^{n-2} \cong \bigvee_{J_{n-1}} S^{n-1}$ ，记为 $p_j$ ，对每个 $i \in J_{n-1}$ ，考虑 $a_{i,j} := \mathrm{deg}(\pi_i \circ p_j)$ ，其中 $\pi_i$ 指一点并到第 i 个分量的投影；定义 $d : C_n \rightarrow C_{n-1}$ 按 $d(j)=\sum_i a_{i,j} i$ ，我们将验证： $(C,d)$ 是一个链复形，并且确给出一个同调理论。

为此，我们来看如何描述 $d$ ，

考虑 cofibration $i : X^{n-1} \rightarrow X^n$ ，考虑 $\partial_n : X^n/X^{n-1} \rightarrow C_i=X^{n-1} \times I \cup X^n /(X^{n-1} \times {1}) \rightarrow \Sigma X^{n-1} \rightarrow \Sigma(X^{n-1}/X^{n-2})$ ， $\Sigma$ 是 unreduced suspension，第一个箭头是到 homotopy cofiber 的同伦等价，第二、第三个箭头都是自然的。
有 $\Sigma : \pi_{n-1}(X^{n-1}/X^{n-2}= \vee S^{n-1}) \rightarrow \pi_n( \Sigma(X^{n-1}/X^{n-2}))$ 是同构，它由 suspension map 诱导出来。

我们记 $\phi_n : C_n(X) \rightarrow \pi_n(X^n/X^{n-1})$ 是自然的同构，考虑 $d'_n : \pi_n(X^n/X^{n-1}) \rightarrow \pi_{n-1} (X^{n-1}/X^{n-2})$ , $d'_n= \Sigma_{\star}^{-1} \circ \partial_{n_\star}$ ，我们最重要的观察是：下图交换

这源于以下的交换图（精确到同伦）

这张图的第二列最后一个映射，是指一个 n-1 维球面间的度 aij 的映射的 suspension；最后两列交换，是源于 pair map 的自然性；前两列的交换可以直接验证。注意到 $d'n$ 作用在 $\pi_n(X_n/X_{n-1})$ 的每个基上的结果限制在 $\pi_{n-1}(X_{n-1}/X_{n-2})$ 每个基上，就相当于交换图上从左上角走到第二列最右方再复合 $\Sigma^{-1}$ ，而这图交换就说明我们的观察成立。

特别地，这给出 $d^2=0$ ，这是因为只需要验证 $(d')^2=0$ ，而它就是 $\Sigma_{\star}^{-1} \circ \partial_{{n-1}_\star} \circ \Sigma_{\star}^{-1} \circ \partial_{n_\star}$ ，只需验证 $\partial_{{n-1}_\star} \circ \Sigma_{\star}^{-1} \circ \partial_{n_\star} =0$ ，只需验证 $\Sigma \partial_{{n-1}_\star} \circ \partial_{n_\star} =0$ ，而这是因为下图交换，而上部分同伦平凡。

我们已经验证了我们确实构造出一组链复形——特别地，同调群；现在我们定义 $C(X,A)_n := C(X)_n/C(A)_n$ ，容易验证它是 $C(X/A)_n$ 除了在零维时为零；它当然典范地成为链复形，并且有链复形正合列 $0 \rightarrow C(A) \rightarrow C(X) \rightarrow C(X,A) \rightarrow 0$ ，我们定义相对同调群 $H_n(X,A) := H_n(C(X,A))$ ，为了验证它的函子性，注意到 celluar map $f: X \rightarrow Y$ 诱导出 $f' : X^n/X^{n-1} \rightarrow Y^n/Y^{n-1}$ ，而这自然给出 $C(X)_n \rightarrow C(Y)_n$ 的映射，特别，它和 $d'$ 交换，从而它确是链映射；对相对情况，由于有自然同构 $H_n(X,A)=H_n(X/A)$ （除零维），从而对 $X/A$ 的函子性保持了相对同调的函子性。