同学们好!

大家是不是看到这个标题感到不太陌生呢?

这一部分内容开始我们开始关注实分析中的积分部分。这一部分和Stein也有部分的重合度,所以按照老办法,我们对于重复的部分只会简单地提一下。

因为ZH在五一期间出现了专栏的bug导致之前的笔记丢失,损失惨重,因此我想了一些补救方案,写在了这篇文章上:

刘理:杂烩|2018.5-近期情况说明,相关typo修改

提供之前的笔记(注意目录顺序……):

我们开始本节的内容,本节所含原书内容为P131-

非负简单可测函数的积分

从这里开始考虑的原因是简单可测函数逼近定理(原书定理3.9)。

Definition 1:
f(x)\mathbb{R}^n 上的非负可测简单函数,它在点集 A_i(i=1,2,...,p) 上取值为 c_i ,并且 f(x)=\sum_{i=1}^{p}c_i\chi _{A_i}(x),\bigcup_{i=1}^{p}A_i=\mathbb{R}^n,A_i \cap A_j = \emptyset(i \ne j) 。若 E \in \mathcal{M} ,那么定义 f(x)E 上的积分为 \int_{E}f(x)dx=\sum_{i=1}^{p}c_im(E\cap A_i)

这一块定义和Stein稍显不同。

下面是相关的性质。

Theorem 1:
f(x),g(x)\mathbb{R}^n 上的非负可测简单函数, f(x) 在点集 A_i(i=1,\cdots,p) 上取值为 a_ig(x) 在点集 B_j 上取值为 b_jE \in \mathcal{M} ,则
(1)若 C 是非负常数,那么 \int_E Cf(x)dx=C \int_E f(x)dx
(2) \int_E (f(x)+g(x))dx=\int _E f(x)dx+\int _E g(x)dx

(请注意,这里的 dx 写法不规范,应该是 \mathrm{d}x ,这里为节省时间)

只证明第二个,因为 f(x)+g(x)A_i \cap B_j 上取值 a_i+b_j (当然了, A_i \cap B_j 是空集其实是不影响的),那么有 \int_E (f(x)+g(x))dx=\sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{q}(a_i+b_j)m(E \cap A_i \cap B_j) 拆分可得 \sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{q}(a_i+b_j)m(E \cap A_i \cap B_j)=\sum_{i=1}^{p}a_i\sum_{j=1}^{q}b_jm(E \cap A_i \cap B_j)+\sum_{j=1}^{q}b_j\sum_{i=1}^{p}a_im(E \cap A_i \cap B_j) 然后,注意到 \sum_{j=1}^{q}m(E \cap A_i \cap B_j)=m(E \cap A_i) (这是因为 \bigcup_{i=1}^{p}A_i=\mathbb{R}^n 和可数可加性),同理得到 \sum_{i=1}^{p}m(E \cap A_i \cap B_j)=m(E \cap B_j) ,所以化简可得上式即为 \sum_{i=1}^{p}a_im(E \cap A_i)+\sum_{j=1}^{q}b_jm(E \cap B_j) ,这也就是 \int_E f(x)dx+\int _E g(x)dx

事实上,还有一个性质就是Stein里所说的“积分的值与表示无关”。这里Stein里说的比较清楚,所以就不再在这里赘述了。

下一个小定理也是之前对我们学过的知识的一个简单应用。

Theorem 2:
\{E_k\}\mathbb{R}^n 中的递增可测集列, f(x)\mathbb{R}^n 上的非负可测简单函数,则 \int_E f(x)dx=\lim_{k \to \infty} \int_{E_k}f(x)dx,E = \bigcup_{k=1}^{\infty}E_k

事实上,只需要走定义,根据 \lim_{k \to \infty}\int _{E _k}f(x)dx=\lim_{k \to \infty}\sum_{i=1}^{p}c_i m(E_k \cap A_i)=\sum_{i=1}^{p}c_im(E \cap A_i) (原书定理2.8)即可得。

非负可测函数的积分

根据简单函数的积分,我们给出非负可测函数积分的定义。

Definition 2:
f(x)E \subset \mathbb{R}^n 上的非负可测函数,定义 f(x)E 上的积分为 \int_E f(x)dx=\sup _{\substack{h(x) \le f(x) \\ x\in E} }\{\int _E h(x)dx:h(x)是\mathbb{R}^n上的非负可测简单函数\} ,如果 \int_E f(x)dx<+\infty ,则称 f(x)E 上可积。

一个简单的事实是

f(x) \le g(x)(x \in E ),f(x),g(x) \ge 0 ,则 \int_E f(x)dx \le \int _E g(x)dx

我们不再证明。

另外,根据这个定义还可以推出两个有趣的性质。

Proposition 1:
(1)若 f(x)E 上的非负可测函数, AE 中可测子集,那么 \int_A f(x)dx=\int_E f(x)\chi_A(x)dx
(2)若 f(x)E 上几乎处处为0,那么 \int_E f(x)dx=0 ,反之亦然。

对于第一个,注意到 \int_A f(x)dx=\sup_{\substack{h(x) \le f(x) \\ x \in A}}\{\int_A h(x)dx\}=\sup_{\substack{h(x)\chi_A(x)\le f(x)\chi_A(x) \\ x \in E }}\{\int_A h(x)dx\} 即可。

对于第二个,一方面,如果在 Ef(x) 几乎处处为0,那么设 Z=\{x \in E : f(x)=0\} ,则 m(Z)=0 。这样的话 \int_Ef(x)dx=\int_Zf(x)dx+\int_{E \setminus Z}f(x)dx (Stein里提了这个性质,事实上用这里的定义证明,也不是难事)。一部分函数值是0,一部分是基于零测集上的积分,那么自然容易得到这个积分值就是0。

另一方面,如果 \int_E f(x)dx=0 ,考虑构造 E_k=\{x \in E: f(x) > 1/k\} ,那么只需要根据 \int_E f(x)dx \ge \int _{ E_k}f(x)dx \ge \int_{E_k}\frac1k dx=\frac1k m(E_k) 即可得到 m(E_k)=0(k=1,2,\cdots) 。接着根据 \{x \in E : f(x)>0\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k 即可得到 m(\{x \in E : f(x)>0\})=0

下面这个依然是一个小定理,但是结论非常重要,也很直观。

Theorem 3:
f(x)E 上的非负可积函数,则 f(x)E 上几乎处处有限。

谈到“几乎处处有限”,想也不用想就是构造 E_k=\{x \in E : f(x) >k\} ,则 \{x \in E : f(x)=+\infty\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}E_k 。结合 \int_E f(x)dx \ge \int_{E_k} f(x)dx \ge km(E_k)\int_E f(x)dx < +\infty 即可得到 \lim_{k \to \infty} m(E_k)=0 。别忘了 \{E_k\} 是递减列,所以自然有 m(\{x \in E : f(x) =+ \infty\})=0

接下来这个定理是一个比较重要的大定理,以后我们可能会经常用到它。

Theorem 4:Beppo Levi
设有定义在 E 上的非负可测函数渐升列 f_1(x) \le f_2(x) \le \cdots \le f_k(x) \le \cdots 且有 \lim_{ k \to \infty}f_k(x)=f(x), x \in E ,那么有 \lim_{k \to \infty}\int _E f_k(x)dx=\int_E f(x)dx

首先,由渐升列的定义,容易得到 \lim_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx 有定义,积分 \int_E f(x)dx 有定义(有定义是根据 f(x) 非负可测得到的,要注意它和可不可积并不是一个概念)。并且还是根据渐升列可以直接得到 \lim_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx \le \int_E f(x)dx (某一项是小的,你取极限后自然还是小的)。

下面考虑另外一个方向。因为要证明 \int_E f(x)dx 是小于左边的式子的,所以自然的要考虑非负可测简单函数 h(x) (通过任意一个 h(x) 的估计和积分的定义,自然可以得到 f(x) 的估计)。考虑到渐升列,构造集合 E_k=\{x \in E : f_k(x) \ge ch(x)\}(k=1,2,\cdots) ,其中 0<c<1 任意取定。这样的话 \{E_k\} 递增可测,所以根据Theorem 2可得 \lim_{k \to \infty}c\int_{E_k}f_k(x)dx = c \int_E h(x)dx 。又容易得到 \int_E f_k(x)dx \ge c\int_{E_k}h(x)dx ,两边取极限,令 c \to 1 ,可以得到 \lim_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx \ge \int_E h(x)dx 。最后因为 h(x) 是任意的,所以就可以得到 \lim_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx \ge \int_E f(x)dx ,就证明了结论。

这个定理相当于说,如果函数是渐升列,那么它的积分和极限可交换。

这个定理的一个最直接的应用是之后的这个性质,因为有可交换性与简单函数逼近定理的保证,会让很多问题变得简单很多。

Theorem 5:
f(x),g(x)E 上的非负可测函数, \alpha,\beta 为非负常数,那么 \int_E(\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int _E f(x)dx+\beta \int_E g(x)dx

事实上根据简单函数逼近定理,结合Theorem 4可以把它转为非负可测简单函数的情况。具体的过程可以查看Stein,这里略去。

当然了,渐降列也是有类似的性质的

Proposition 2:
\{f_k(x)\}E 上的非负可积函数渐降列,且 \lim_{k \to \infty}f_k(x)=f(x), ~ a.e. x \in E ,那么 \lim_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx = \int_E f(x)dx

简单说明一下,构造 g_k(x)=f_1(x)-f_k(x) ,那么这就变成了一个渐升列,然后根据构造出的渐升列可得 \lim_{k \to \infty}\int_E(f_1(x)-f_k(x))dx=\int_E(f_1(x)-f(x))dx 。另一方面,根据积分的线性性质,再取极限,可得 \lim_{k \to \infty}(\int_E f_1(x)dx-\int_E f_k(x)dx)=\int_E(f_1(x)-f(x))dx=\int_E f_1(x)dx - \int_E f(x)dx 。这样的话,把左边取极限的部分拆开,消去有限项(可积)即可得结论(别忘了 f_1(x) 在取极限的时候是不受影响的)。

之后要说的逐项积分定理,其证明将运用Beppo Levi定理,而它本身也很重要。

Theorem 6:
\{f_k(x)\}E 上非负可测函数列,那么 \int_E \sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)dx=\sum_{k=1}^{\infty}\int_Ef_k(x)dx

S_m(x)=\sum_{k=1}^{m}f_k(x) ,那么就构造出了一个渐升列,并且 \lim_{m \to \infty}S_m(x)=\sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)=S(x) 。这样的话,注意到左边就相当于 \int_E S(x)dx ,所以只要证明右边是 \lim_{m \to \infty}\int \sum_{k=1}^{m}f_k(x)dx 即可。而右边化一下极限可得 \sum_{k=1}^{\infty}\int_Ef_k(x)dx=\lim_{m \to \infty}\sum_{k=1}^{m}\int_E f_k(x)dx 。之后只要根据积分的线性性质即可得到结论。

一个简单的推论如下:

Corollary 1:
E_k \in \mathcal{M}(k=1,2,\cdots)E_i \cap E_j=\emptyset(i \ne j) ,若 f(x)E=\bigcup_{k=1}^{\infty}E_k 上的非负可测函数,则 \int_Ef(x)dx=\int_{\cup_{k=1}^{\infty}E_k}f(x)dx=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{E_k}f(x)dx

根据 \int_{E_k}f(x)dx=\int_Ef(x)\chi_{E_k}(x)dx 和逐项积分定理即可得到结论,这里略去详细的证明。

这个推论主要的来源于测度的可数可加性,不过因为积分的存在,所以很多时候在测度的环境下也可以使用积分来估计。

下面一个例子说明了积分在测度的应用。

Example 1:
E_1,E_2,\cdots, E_n[0,1] 中的可测集,且 [0,1] 中每一点至少属于上述集合中的 k 个,那么 E_1,\cdots,E_n 中至少有一个点集的测度大于等于 k/n

只需要注意 \sum_{i=1}^{n}m(E_i)=\sum_{i=1}^{n}\int_{[0,1]}\chi_{E_i}(x)dx=\int_{[0,1]}\sum_{i=1}^{n}\chi_{E_i}(x)dx ,且根据 \sum_{i=1}^{n}\chi_{E_i}(x) \ge k 可得到 \int_{[0,1]}\sum_{i=1}^{n}\chi_{E_i}(x)dx \ge k 。所以如果任何一个点集测度小于 k/n ,就可以得到 \sum_{i=1}^{n}m(E_i) < \frac k n*n =k ,这就矛盾了。所以原定理自然是成立的。

下面引入Fatou引理。

Theorem 7: Fatou
\{f_k(x)\}E 上的非负可测函数列,那么 \int_E \underline{\lim}\limits_{k \to \infty}f_k(x)dx \le \underline{\lim}\limits_{k \to \infty}\int_E f_k(x)dx

根据下极限的定义,考虑设 g_k(x)=\inf \{f_j(x):j \ge k\} ,那么容易得到 g_k(x) \le g_{k+1}(x)(k=1,2,\cdots) ,并且有 \underline{\lim}\limits_{k \to \infty} f_k(x)=\lim_{k \to \infty}g_k(x), x\in E 。所以通过这种方式相当于构造了一个渐升列,根据相关定理可得 \int_E \underline{\lim} \limits _{k \to \infty} f_k(x)dx=\lim_{k \to \infty}\int_E g_k(x)dx= \underline{\lim} \limits _{k \to \infty}\int_E g_k(x)dx \le \underline{\lim} \limits _{k \to \infty} \int _E f_k(x)dx (中间步骤是因为,极限存在那么下极限和极限相等),这就证明了结论。

书上给了一个函数 f_n(x)=\begin{cases}0 & x =0 \\ n & 0<x<\frac1n \\ 0 & \frac1n \le x \le 1\end{cases} ,这个函数运用Fatou引理的话,其不等号是成立的。

最后是一个定理,引入了另外一种可积的充要条件,书上以它结束了这一节,我也打算这么做。

Theorem 8:
f(x)E 上的几乎处处有限的非负可测函数, m(E)<+\infty 。在 [0,+\infty) 上作如下划分 0=y_0<y_1<\cdots<y_k<y_{k+1}<\cdots \to \infty ,其中 y_{k+1}-y_k<\delta(k=0,1,\cdots) ,若令 E_k=\{x \in E : y_k \le f(x) < y_{k+1}\}(k=0,1,\cdots) ,则 f(x)E 上可积当且仅当 \sum_{k=0}^{\infty}y_km(E_k)<+\infty ,并且有 \lim_{\delta \to 0}\sum_{k \to 0}^{\infty}y_km(E_k)=\int_E f(x)dx

事实上,注意到 y_km(E_k) \le \int_{E_k}f(x)dx \le y_{k+1}m(E_k) 就容易得到 \sum_{k=0}^{\infty}y_km(E_k) \le \int_E f(x)dx \le \sum_{k=0}^{\infty}y_{k+1}m(E_k) \le \delta m(E)+\sum_{k=0}^{\infty}y_km(E_k) 。所以自然就可以得到结论成立(夹逼)

这个结论可以与Riemann积分相类比一下。Riemann积分是分割定义域来进行极限求和,而这里这个等价条件相当于是对值域进行相同的操作。

比方说,取 E_k=\{x \in E : k \le f(x) < k+1\} (k=1,2,\cdots) ,那么 f(x) 的可积性就等价于 \sum_{k=1}^{\infty}km(E_k)<+\infty 。运用这个小结论,可以来解下面这个例子。

Example 2:
E \subset \mathbb{R}:m(E)<+\infty , f(x)E 上非负实值可测函数,那么 f(x)[0,+\infty) 上可积的充要条件是 \sum_{n=0}^{\infty}m(\{x \in E : f(x) \ge n\})<+\infty

一方面,如果 f(x) 可积,那么 \sum_{n=0}^{\infty}m(\{x \in E : f(x) \ge n\})=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=n}^{\infty}m(\{x \in E : k \le f(x) <k+1\})\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)m(\{x \in E : k \le f(x) < k+1\}) < + \infty (第二步其实将求和号变一下即可,但要注意变换上下标为 \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{k} 。之后再用上面的结论)

另一方面,则只需要注意到 \int_E f(x)dx=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{\{x \in E : k \le f(x) <k+1\}}f(x)dx \le \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)m(\{x \in E : k \le f(x) < k+1\}) < +\infty 即可知道结论成立(因为我偷懒省了最后一步……)

小结

这一节各位可能会想做一些吐槽,因为可能会感觉这一部分的内容没有什么太大的新意,也鲜有创新。不过确实我自己在看的时候发觉确实没有太多需要解释的部分,书上这一块写的很详细也很清楚。这当然对于所有人来说都是一件好事。

这一部分内容和Stein的观点和符号标记都稍有差别,因此我基本上没有省略掉原书的内容。这虽然一定程度上使笔记的内容多了不少,但是读者通过对比两本书的观点差异,其实还是可以发现很多有趣的东西的。

下一节我们会跟着原书的内容,继续介绍《实变函数论》中所涉及的一般函数积分的相关理论。

感谢大家一直以来的支持,为点赞收藏感谢赞赏的看客比心~~

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来源:知乎 www.zhihu.com

作者:刘理

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