这篇文章是 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci 的第四部分。这篇文章主要介绍两部分内容:一、关于Ricci流解的长时间存在性的一个基本结果,二、Ricci流有限时间奇点的分析。

这篇文章主要参考了 [1] 和 [3]。

一、关于Ricci流解的长时间存在性的一个基本结果

【定理1】设 g(t), t\in [0,T)n 维闭流形 M 上Ricci流的解,且 T 为解的最大存在时间。如果 T<+\infty ,则 \limsup_{t\to T} ({\max_{x\in M} |Rm(x,t)|})=+\infty

【注1】1. 这个结果是一个一般性的结果,对于 n 维流形都成立。

2. 由定理1我们可以知道,若存在与时间无关的常数 C>0 ,使得 |Rm|\leq C,\forall t\in[0,T) ,则 T=+\infty 。因此,如果曲率张量的模有一个一致的控制,那么Ricci流的解是长时间存在的,这是长时间存在性的一个判定方法。

【证明】记 M(t)=\max_{x\in M}{|Rm(x,t)}| ,我们用反证法,即假设 T<+\infty\limsup_{t\to T}M(t)<+\infty 。此时,存在与时间无关的常数 C>0 ,使得 M(t)\leq C, \forall t\in [0,T) ,因此 |Rm|\leq C, \forall t\in[0,T)

第一步,证明当 t\to T 时,g(t) 一致收敛于一个连续的、对称正定的二阶协变张量 g(T) :首先我们指出一个一般的不等式 |Ric|^2\leq n|Rm|^2 ,这可以在任意一点处的一个正交标架下计算(实际上这就是trace不等式): |Ric|^2=\sum_{i,j}R_{ij}^2=\sum_{i,j}(\sum_kR_{kij}^k)^2\leq n\sum_{i,j}\sum_k(R_{kij}^k)^2\leq n\sum_{i,j,k,l}(R_{ijk}^l)^2=n|Rm|^2 。因此,由 |Rm|\leq C 可得 |\partial_tg|=2|Ric|\leq C_1 ,其中 C_1>0 是不依赖于时间的常数。

对于任意的 v\in T_xM,x\in M ,令 |v|_t=\sqrt{g(x,t)(v,v)} ,于是 \frac{d}{dt}|v|_t^2=(\partial_tg(x,t))(v,v) ,且 |\frac{d}{dt}\log|v|_t^2|=\frac{(\partial_tg(x,t))(v,v)}{|v|_t^2}\leq |\partial_tg(x,t)|\leq C_1 。所以对于任意 0\leq\tau<\theta<T|\log({|v|_\theta^2}/{|v|_\tau^2})|\leq\int_\tau^\theta|\frac{d}{dt}\log|v|_t^2|dt\leq C_1(\theta-\tau) 。由这个不等式可得到两个估计: |v|_t^2 有上界, |v|_t^2\leq|v|_0^2\exp(C_1t)\leq|v|_0^2\exp(C_1T) ;并且 |v|_\theta^2/|v|_\tau^2\to 1\; (\theta,\tau\to 1) 。由这两个估计可知 ||v|_\theta^2-|v|_\tau^2|=|v|_\tau^2\times|\frac{|v|_\theta^2}{|v|_\tau^2}-1|\to 1\; (\theta,\tau\to 1) ,故由Cauchy收敛定理可知,存在实数 |v|_T^2 ,使得 |v|_t^2\to |v|_T^2\; (t\to T) 。又注意到:第一,|v|_t\geq 0\Rightarrow |v|_T\geq 0, \forall v\in T_xM

第二,当v=0|v|_t\equiv 0\Rightarrow |v|_T=0 ,而当 v\ne 0 时又利用 |\log({|v|_\theta^2}/{|v|_\tau^2})|\leq C_1(\theta-\tau) 可得下界估计 |v|_t^2\geq |v|_0^2\exp(-C_1t)\geq |v|_0^2\exp(-C_1T)\Rightarrow |v|_T^2\geq |v|_0^2\exp(-C_1T)>0 ;第三,|v+w|_t\leq |v|_t+|w|_t\Rightarrow |v+w|_T\leq |v|_T+|w|_T,\forall v,w\in T_xM ; 第四,|\lambda v|_t=|\lambda||v|_t\Rightarrow |\lambda v|_T=|\lambda||v|_T, \forall v\in T_xM, \lambda\in\mathbb R 。因此 |\cdot|_T 是一个模长。

现在,如果 VM 上的连续切向量场,则利用上面的结果我们可以得到两个与 x\in M 无关的一致的控制:|V(x)|_t^2\leq (\max_{x\in M}|V(x)|_0^2)\exp(C_1T) ,以及 |\log({|V(x)|_\theta^2}/{|V(x)|_\tau^2})|\leq C_1(\theta-\tau) 。因此利用类似上面的方法可得,在 t\to T 时,|V(x)|_t^2 以不依赖于 x\in M 的方式一致收敛于 M 上的连续函数 |V(x)|_T^2 。同时,由 t 时刻的平行四边形公式|V(x)+W(x)|_t^2+|V(x)-W(x)|_t^2=2(|V(x)|_t^2+|W(x)|_t^2),\forall x\in M ,令 t\to T 可得 T 时刻也满足平行四边形公式,因此模长 |\cdot|_T^2 可以由一个内积 g(T) 诱导,即令 g(x,T)(V(x),W(x))=\frac14(|V(x)+W(x)|_T^2-|V(x)-W(x)|_T^2),\forall x\in M 。因为 |V|_t^2 一致收敛于 |V|_T^2 ,故 g(t) 也一致收敛于 g(T) ;利用 |\cdot|_T^2M 上连续可知 g(T) 也连续。故 g(T)M 上的一个连续的、对称正定的二阶协变张量。

第二步,证明 g(T) 实际上是 C^\infty 的,从而 g(T) 成为 M 上的黎曼度量,且 g(t)C^\infty 收敛于 g(T) :由于 M 为闭流形,我们可以取 M 上有限个适当的局部坐标邻域覆盖 M 满足:第一,每个局部坐标邻域都包含在一个更大的紧的局部坐标邻域内,这样 t=0 时刻的所有几何量的绝对值在每一个局部坐标系中都是有界的,例如 |g_{ij}(0)|\leq C_1,|g^{ij}(0)|\leq C_2,|\Gamma_{ij}^k(0)|\leq C_3 等等;第二, t=0 时刻的模长 |\cdot|_0 与每一个局部坐标系下的欧氏模(记为 |V|'=\sqrt{\sum_{i=1}^n(V^i)^2} ,其中 V 为切向量)都是等价的,且相差倍数为常数 C>0C 对每个局部坐标系都一致: C^{-1}|V|'\leq |V|_0\leq C|V|' 。注意到上面我们已经证明了 |v|_0^2\exp(-C_1T)\leq|v|_t^2\leq|v|_0^2\exp(C_1T) ,这就是说明了 |\cdot|_t|\cdot|_0 等价,相差的倍数与 t 无关,从而 |\cdot|_t 也与 |\cdot|' 是等价的,相差的倍数也与 t 无关。

要证明 g(T)C^\infty 的,只需在上述的每一个局部坐标系 (U;x^i) 下证明 \partial^\alpha g_{ij}(t)t\to T 时一致收敛即可,其中 \alpha 为任意多重指标, \partial^\alpha 代表对相应的局部坐标 x^i 求偏导数。这是因为由数学分析的定理可知,光滑函数 g_{ij}(t) 一致收敛于 g_{ij}(T) 且所有一阶偏导数 \partial^\alpha g_{ij}(t)\;(|\alpha|=1) 一致收敛时,我们可以得到 g_{ij}(T) 的所有一阶偏导数连续,且 \partial^\alpha g_{ij}(t) 一致收敛于 \partial^\alpha g_{ij}(T)\;(|\alpha|=1) 。对于二阶偏导数、三阶偏导数等也是类似的。因此当 \partial^\alpha g_{ij}(t) 对任意多重指标 \alpha 都一致收敛时,可得 g_{ij}(T) 的所有阶偏导数都连续,也就是说 g_{ij}(T) 是光滑函数,从而 g(T) 在覆盖 M 的局部坐标系下的分量都是光滑的,所以 g(T)C^\infty 的。同时在上述每一个局部坐标系下 \partial^\alpha g_{ij}(t) 一致收敛于 \partial^\alpha g_{ij}(T) ,于是 g(t)C^\infty 收敛于 g(T)

要证明 \partial^\alpha g_{ij}(t) 一致收敛,我们首先有 |\partial^\alpha g_{ij}(\theta)-\partial^\alpha g_{ij}(\tau)|=|\int_\tau^\theta [\frac{d}{dt}\partial^\alpha g_{ij}(t)]dt|=2|\int_\tau^\theta\partial^\alpha R_{ij}dt|\leq2\int_\tau^\theta|\partial^\alpha R_{ij}|dt 。(以下常数 C>0 可以在不同式子中代表不同的值,且都不依赖于时间和局部坐标系)因此我们只需证明,对任意多重指标 \alpha ,存在与时间和局部坐标系无关的常数 C>0 使得 |\partial^\alpha R_{ij}|\leq C ,那么就有 |\partial^\alpha g_{ij}(\theta)-\partial^\alpha g_{ij}(\tau)|\leq 2\int_\tau^\theta|\partial^\alpha R_{ij}|dt\leq 2C(\theta-\tau)\to 0\; (\theta,\tau\to 0) ,故由Cauchy收敛定理可得到 \partial^\alpha g_{ij}(t) 一致收敛。

数量曲率的梯度估计,曲率张量高阶协变微分的估计 中最后关于曲率张量的高阶协变微分的估计,我们可得 |Rm|\leq C\Rightarrow |\nabla^nRm|\leq C ,因此关键在于将关于高阶协变微分的估计 |\nabla^nRm|\leq C 转化为局部坐标系下关于偏导数估计 |\partial^\alpha R_{ij}|\leq C 。由trace不等式我们可以得到 |\nabla^nRic|\leq C ,先看一阶的情形: \nabla_kR_{ij}=\partial_kR_{ij}-\Gamma_{ki}^lR_{lj}-\Gamma_{kj}^lR_{il} ,故取绝对值 |\partial_kR_{ij}|\leq|\nabla_kR_{ij}|+|\Gamma_{kj}^l||R_{il}|+|\Gamma_{ki}^l||R_{lj}| 。注意到,局部坐标系的选取使得 |\cdot|_t 与局部坐标系下的欧氏模 |\cdot|' 是等价的,且相差的倍数与时间无关,于是它们在一般的张量上诱导的模也是等价的,相差的倍数也与时间无关(注:可以在将 g_{ij} 特征值对角化的欧氏模正交标架下验证)。因此对几何量的绝对值,有以下的估计 |\nabla_kR_{ij}|\leq|\nabla Ric|'\leq C|\nabla Ric|\leq C, |R_{ij}|\leq|Ric|'\leq C|Ric|\leq C, \forall i,j,k 。因此我们只需要估计绝对值 |\Gamma_{ij}^k| 即可: |\partial_t\Gamma_{ij}^k|=|g^{kl}(-\nabla_iR_{jl}-\nabla_jR_{il}+\nabla_lR_{ij})|\leq C\max_{k,l}|g^{kl}(t)||\partial_tg^{kl}|=|2R^{kl}|\leq C|Ric|\leq C\Rightarrow |g^{kl}(t)|\leq|g^{kl}(0)|+Ct\leq C+CT ,从而 |\partial_t\Gamma_{ij}^k|\leq C,|\Gamma_{ij}^k(t)|\leq|\Gamma_{ij}^k(0)|+Ct\leq C+CT ,从而我们完成了一阶偏导数的估计。

高阶偏导数的估计是完全类似的,用归纳法就可以完成,只不过需要估计额外的项 |\partial^\alpha\Gamma_{ij}^k| 。以二阶偏导数估计为例,注意到 \nabla_l\nabla_kR_{ij}=\partial_l(\nabla_kR_{ij})-\Gamma_{kl}^h\nabla_hR_{ij}-\Gamma_{il}^h\nabla_kR_{hj}-\Gamma_{jl}^h\nabla_kR_{ih} \\ =\partial_l\partial_kR_{ij}-(\partial_l\Gamma_{ki}^p)R_{pj}-(\partial_l\Gamma_{kj}^p)R_{ip}+... ,其中省略号的部分是已经估计过的项。于是,我们只需估计 |\partial_l\Gamma_{ij}^k|,\forall i,j,k,l 即可: \partial_t\partial_l\Gamma_{ij}^k=\partial_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k) ,注意到 \partial_t\Gamma_{ij}^k 是张量,故有 \nabla_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)=\partial_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)-\Gamma_{il}^h\cdot\partial_t\Gamma_{hj}^k-\Gamma_{jl}^h\cdot\partial_t\Gamma_{ih}^k+\Gamma_{hl}^k\cdot\partial_t\Gamma_{ij}^h=\partial_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)+... ,同时 \nabla_l(\partial_t\Gamma_{ij}^k)=g^{kp}(-\nabla_l\nabla_iR_{pj}-\nabla_l\nabla_jR_{ip}+\nabla_l\nabla_pR_{ij}) 用二阶协变微分的估计 |\nabla^2Ric|\leq C 以及 |g^{kl}|\leq C 就能控制,因此最终 |\partial_t\partial_l\Gamma_{ij}^k|\leq C,|\partial_l\Gamma_{ij}^k(t)|\leq|\partial_l\Gamma_{ij}^k(0)|+Ct\leq C+CT ,从而我们完成了二阶偏导数的估计。更高阶偏导数中出现的 |\partial^\alpha\Gamma_{ij}^k| 也可逐步使用这里的方法估计,于是我们完成了第二步。

第三步,导出矛盾,完成定理的证明:由于 T 时刻 g(T)M 上的黎曼度量,因此由Ricci流的短时间存在性可知, \partial_t\hat g=-2Ric_{\hat g}, \hat g(0)=g(T) 有短时间的光滑解,设解的存在区间为 [0,\varepsilon) 。于是令 h(t)=g(t),\forall t\in[0,T]; h(t)=\hat g(t-T),\forall t\in[T,T+\varepsilon)

,则 h(t) 定义在 [0,T+\varepsilon) 上,且由 t\to T^-g(t)C^\infty 收敛于 g(T) 可知 h(t)T 时刻的拼接也是光滑的,它是Ricci流的整体光滑解,这与 T 是Ricci流的最大存在时间矛盾,因此定理1得证。(//只证明了关于空间方向光滑,忘记证明关于时间方向光滑了)

【推论1】定理1中的结论可改进为 \lim_{t\to T}(\max_{x\in M}|Rm(x,t)|)=+\infty

【证明】用反证法。若不然,则存在常数 C>0 以及一列严格单调上升的时间 t_i\to T\;(i\geq 1) 使得 M(t_i)\leq C ,其中 M(t)=\max_{x\in M}|Rm(x,t)| 。取定一个充分大的 i ,使得 T-\frac1{16C}\leq t_i<T 。由下面的引理1可知 M(t)\leq 2M(t_i)\leq 2C, \forall t\in[t_i,T] ,这与定理1中得到的 \limsup_{t\to T}M(t)=+\infty 矛盾,故命题得证。

【引理1】(Doubling time estimate,[2])设 g(t),t\in[0,T) 为闭流形 M 上Ricci流的解,且 t=0|Rm|\leq C ,则 |Rm|\leq 2C, \forall t\in[0,\frac1{16C}]

【注2】这个引理的证明并不困难,属于 数量曲率的梯度估计,曲率张量高阶协变微分的估计 中最后部分的内容,有机会再一起补充完整。这个引理说明当 |Rm| 在某一时刻上界被 C 控制时,|Rm| 不能增长太快,要想它加倍至少要经过一个短时间 \frac1{16C}

【推论2】设 g(t),t\in[0,T) 为闭三维流形 M 上Ricci流的解, T 为解的最大存在时间,且 Ric(0)>0 ,则 \lim_{t\to T} R_{max}(t)=+\infty ,其中 R_{max}(t)=\max_{x\in M}R(x,t)

【证明】首先我们指出,在三维流形上有一个一般的不等式 |Ric|\geq c|Rm| ,其中 c>0 为绝对常数。这是因为利用Weyl张量为0的条件 0=W_{ijkl}=R_{ijkl}+\frac R2(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})-(R_{il}g_{jk}+R_{jk}g_{il}-R_{ik}g_{jl}-R_{jl}g_{ik}) 在单位正交标架下我们可以得到 |Rm|^2=\sum_{i,j,k,l}R_{ijkl}^2=\sum_{i,j,k,l}[-\frac R2(\delta_{il}\delta_{jk}-\delta_{ik}\delta_{jl})+(R_{il}\delta_{jk}+R_{jk}\delta_{il}-R_{ik}\delta_{jl}-R_{jl}\delta_{ik})]^2 \\ \leq\sum_{i,j,k,l}6\times(\frac {R^2}4\delta_{il}^2\delta_{jk}^2+\frac{R^2}4\delta_{ik}^2\delta_{jl}^2+R_{il}^2\delta_{jk}^2+R_{jk}^2\delta_{il}^2+R_{ik}^2\delta_{jl}+R_{jl}^2\delta_{ik}^2) \\ =6\times(2\times\frac{R^2}4\cdot3\cdot3+4\times|Ric|^2\cdot3) ,再利用trace不等式 R^2\leq3|Ric|^2 即可得到 |Ric|\geq c|Rm| 的估计。

现在,由于我们已经证明过 Ric(0)>0 时,R(0)>0T<+\infty ,因此,由推论1 \lim_{t\to T}(\max_{x\in M}|Rm(x,t)|)=+\infty ,从而由 |Ric|\geq c|Rm| 可得 \lim_{t\to T}(\max_{x\in M}|Ric(x,t)|)=+\infty。最后我们证明过 Ric>0 在Ricci流下是保持的,此时 R>0|Ric|^2\leq R^2 ,故 \lim_{t\to T}R_{max}(t)=+\infty ,证毕

二、Ricci流有限时间奇点的分析

现在,我们可以得出在 t\to T 时Ricci流的一些几何性质,这将在分析规范化的Ricci流的几何性质时用到。

【定理2】设 g(t),t\in [0,T) 为三维闭流形 M 上Ricci流的解, T 为最大存在解时间,且 Ric(0)>0 ,则 \lim_{t\to T}\frac{R_{min}(t)}{R_{max}(t)}=1 ,其中 R_{max}(t)=\max_{x\in M}R(x,t), R_{min}(t)=\min_{x\in M}R(x,t)

【证明】首先由推论2, R_{max}(t)\to +\infty\; (t\to T) ,再利用 数量曲率的梯度估计,曲率张量高阶协变微分的估计 中数量曲率的梯度估计 \frac{|\nabla R|^2}{R^3} \leq \beta R^{-2\alpha}+CR^{-2}\; (0<2\alpha<1) ,可以对数量曲率的变化速度进行控制,具体如下:

|\nabla R|^2\leq \beta R^{3-2\alpha}+CR ,且存在充分接近于 T 的时刻 \theta_1 使得 CR_{max}(t)\leq CR_{max}^{3-2\alpha}(t),\forall t\in[\theta_1,T) ,因此 |\nabla R|\leq (\beta+C) R_{max}^{3/2-\alpha} 。现在对于一个固定的时刻 t\in[\theta_1,T) ,设 x_1\in M 使得 R(x_1,t)=R_{max}(t) ,并考虑 t 时刻 M 上的测地球 B=B(x_1,\frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}}) ,其中 \varepsilon>0 为待定常数。注意到 Ricci曲率张量大于0的3维闭流形上的Ricci流 中最后我们证明了存在常数 \eta>0 使得 Ric\geq 2\eta^2Rg ,即Ricci曲率有下界 2\eta^2R_{min}(0)>0 ,故由Myers定理 M 是紧的,因此是完备的。

于是对于任意一点 x_2\in B ,存在从 x_2x_1B 中最短测地线 \gamma:[0,L]\to M ,其中 L=d(x_1,x_2)\leq\frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}} 。注意到 R_{max}(t)-R(x_2)=\int_0^L[\frac d{dt}R(\gamma(t))]dt=\int_0^L\nabla R(\gamma(t))\cdot\gamma'(r)dt \\ \leq\int_0^L|\nabla R(\gamma(t))|\cdot 1dt\leq L\cdot (\beta+C) R_{max}^{3/2-\alpha}\leq \frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{1-\alpha} ,因此 R(x_2)\geq(1-\frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{-\alpha})R_{max} 。由于 x_2\in B 任意,故 \inf_{x\in B}R(x,t)\geq(1-\frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{-\alpha})R_{max} 。现在再取充分接近于 T 的时刻 \theta_2\in[\theta_1,T) 使得 \frac{\beta+C}\varepsilon R_{max}^{-\alpha}(t)\leq\varepsilon,\forall t\in[\theta_2,T) ,因此 \inf_{x\in B}R(x,t)\geq(1-\varepsilon )R_{max}(t),\forall t\in [\theta_2,T)

现在再由 Ric\geq 2\eta^2Rg 以及Myers定理可知,上述的从 x_1 出发的最短测地线 \gamma 在长度 L(\gamma)>\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}} 时不可能保持最短。注意到 \frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}\leq \frac\pi{\eta\sqrt{(1-\varepsilon)R_{max}(t)}} ,如果我们取定待定常数 \varepsilon>0 充分小使得 \frac\pi{\eta\sqrt{(1-\varepsilon)}}<\frac1\varepsilon ,此时 \varepsilon 可以只由 g(0) 决定,那么 \frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}}< \frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}}

M 上存在一点 y 处于测地球 B 之外,由 M 完备可知,存在一条从 x_1y 的最短测地线 \gamma_1 。由于该测地线长度 L(\gamma_1)=d(x,y)\geq \frac1{\varepsilon\sqrt{R_{max}(t)}} ,因此 \gamma_1 上存在一点 z 使得 \gamma_1 上从 x_1z 的部分 \gamma_1|_{[x_1,z]} 仍然是最短测地线,包含在 B 中,且长度 L(\gamma_1|_{[x_1,z]})>\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}} ,这与之前说的在长度 L>\frac\pi{\eta\sqrt{\inf_{x\in B}R(x,t)}} 时测地线 \gamma 不可能保持最短矛盾。因此 M=B 。因为我们之前在 B 中建立了不等式 \inf_{x\in B}R(x,t)\geq(1-\varepsilon )R_{max}(t),\forall t\in [\theta_2,T) ,因此 R_{min}(t)\geq (1-\varepsilon )R_{max}(t),\forall t\in [\theta_2,T)\varepsilon>0 可以做到任意小,因此我们证明了 \lim_{t\to T}\frac{R_{min}(t)}{R_{max}(t)}=1 ,命题得证。

【推论3】在定理2的条件下, \int_0^Tr(t)dt=+\infty ,其中 r=\frac{\int_M Rd\mu}{\int_M d\mu}

【证明】首先我们设 f 是以下ODE的解: \frac{df}{dt}=2R_{max}(t)f,f(0)=R_{max}(0) 。这个ODE总是有解的,因为 R_{max}(t) 是关于 t 的连续函数(注:可以这样验证:对于两个充分接近的时刻 t_1,t_2 ,设 R_{max} 分别在 x_1,x_2 上达到,由 R(x,t) 的连续性有 R_{max}(t_1)=R(x_1,t_1)\leq R(x_1,t_2)+\varepsilon\leq R_{max}(t_2)+\varepsilon ,另一边的不等式也可以同样建立)。此时 \partial_t(f-R)=2R_{max}f-(\Delta R+2|Ric|^2) 。注意到 Ric>0|Ric|^2\leq R^2 ,故 -2|Ric|^2\geq -2R^2\geq-2R_{max}R 。从而 \partial_t(f-R)\geq \Delta(f-R)+2R_{max}(f-R) 。因为在 t=0f-R\geq 0,由函数的最大值原理可知 f-R\geq 0[0,T) 上都成立,从而 f(t)\geq R_{max}(t)\to+\infty\; (t\to T) 。同时我们有 \int_0^tR_{max}(s)ds=\frac12\int_0^t(\frac1f\frac{df}{ds})ds=\frac12[\log f(t)-\log f(0)]\to+\infty\;(t\to T) ,因此 \int_0^TR_{max}(t)dt=+\infty 。最后,由定理2知, R_{min}(t)/R_{max}(t)\to 1\; (t\to T) ,因此存在充分接近于 T 的时刻 \theta 使得 R_{min}(t)\geq\frac12R_{max}(t),\forall t\in[\theta,T) ,由于 r 是数量曲率的积分平均值,故 r\geq R_{min}(t)\geq\frac12R_{max}(t),\forall t\in[\theta,T) 。故 \int_0^Tr(t)dt\geq \int_\theta^Tr(t)dt\geq\frac12\int_\theta^TR_{max}(t)dt=+\infty 。其中 \int_\theta^TR_{max}(t)dt=+\infty 是因为在紧区间 [0,\theta]R_{max}(t) 的积分为有限值,故 \int_0^TR_{max}(t)dt=+\infty 减去一个有限值 \int_0^\theta R_{max}(t)dt<+\infty 后仍为 +\infty 。至此,我们完成了推论3的证明。

【推论4】在定理2的条件下, \frac{|Ric-\frac13 Rg|^2}{R^2}\to 0\; (t\to T)

【证明】由 Ricci曲率张量的夹挤估计 我们可知 \frac{|Ric-\frac13 Rg|^2}{R^2}\leq CR^{-\varepsilon} 。由于 R_{max}(t)\to +\infty, R_{min}(t)/R_{max}(t)\to 1\; (t\to T) ,故 R\to +\infty\; (t\to T) ,因此 \frac{|Ric-\frac13 Rg|^2}{R^2}\leq CR^{-\varepsilon}\to 0\;(t\to T) ,证毕。

参考文献

[1] Chow, Bennett; Knopf, Dan. The Ricci flow: an introduction. Mathematical Surveys and Monographs, 110. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.

[2] Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei. Hamilton’s Ricci flow. Graduate Studies in Mathematics, 77. American Mathematical Society, Providence, RI; Science Press Beijing, New York, 2006.

[3] Hamilton, Richard S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 2, 255–306.

来源:知乎 www.zhihu.com

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