从拓扑学的角度来考虑或许是个很有意思的问题。

有意思的地方在于,题目中提到有人认为“坐船环游地球一周”即可证明地球表面是个球面(2-sphere),而在flat earth society 所提出的模型(以下简称FET)中,即便“环绕世界一圈,回到起点”也并不能很好地证明“球面说”。事实上,只需要稍微改进一下“环绕地球一圈”这个方法,即可分辨FET与球面模型的区别。

首先想象一下,地球上举办了首届环球马拉松锦标赛(TODO:想个好点儿的例子),比赛路线必须是首尾相接的,像这样:

结果, \cancel{完成了比赛}\cancel{的选手都是}\cancel{粉色的大象} 没有选手完成比赛,因为赛道太长了。于是,组委会决定逐年缩减赛道长度,直到有人能完成比赛。同时,出于节省成本考虑(就当是这样吧),新赛道是通过贴着地面连续移动旧赛道而形成的。几年下来,马拉松赛道被修成了这样:

对你没看错,因为前些年口碑太差,已经没有人愿意参加比赛了,所以赛道的长度最终归零,赛事委员会 运 营 爆 破。


那么现在问题来了,如果赛委会转而信仰FET,运营爆破可不可以避免呢?首先我们来试图理解一下,从拓扑学的角度来看,FET到底说了什么。就笔者在FES论坛上的观察来看,其信众自身也没有对“平面地球的边界是什么样的”形成统一的意见。在此举两个我看到的说法为例。

首先是吃豆人说,即“从屏幕底端走进去便会从屏幕顶端走出来”。当然,吃豆人的屏幕一般是方形的,而FET模型是个圆盘,这该怎么办?没事同伦一下就好了:

其中 a,b 代表FET圆盘边界上的两条线段。至于为什么只用两条就够了,因为对于线段 a 上任意一点 x_1 ,进入 x_1 的人都会出现在与之“虫洞相连”的 x_2 点。由此,上下两条边界线段可以视为同一条(注意方向),左右边界同理。接下来我们把圆盘变方,使线段 a,b 分别映射到 a',b' ,同时保留他们之间的“虫洞关系”。不要问我为什么能这么做,你大概不会想听。

接下来,我们可以把方形的上下,左右两条边对应粘好:

于是我们看到了更加直观的吃豆人世界:一个甜甜圈的外表面!回到马拉松组委会的运营问题,我们可以看到,如果最开始的赛道是 a,b 或者他们之间的任意组合(e.g. 跑2圈 a 再跑-1圈 b )的话,无论沿着地球表面(禁止挖坑!)连续挪动赛道多少次,赛道长度都不可能变成零。世界线由此发生了改变,组委会的赛道永不trivial!后人用一句话总结了这段历史:

\Pi_1(T^2)=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\neq\{e\}=\Pi_1(S^2)


下面再来看第二种FET的说法,毕竟之前的吃豆人说看上去有点不自然不神赋:“边界上的这四个(或者一个)端点是怎么选出来的?有什么说法么?”为了避免他们的教义在未来产生分歧,我挑选了一个更加自然的版本:

如上图所示,若走入FET圆盘边界任意一点,便会从其与北极点(圆心)的对称点走出。需要注意的是,当你只有一只右脚跨入地球边界时,你将会暂时拥有两只左脚。(不是我说,这样还能跑马拉松么?)为了直观考虑,现在将这个圆盘视作与之同胚的半球面,马拉松组委会可以设计这样一条赛道:

其中  x,x' 关于球心对称(注意这里的球心并不在地表,地表是个上半球面)。在这条世界线中,我们的赛道是否会消失呢?一个 \cancel{\text{naive}} 直观的想法是“会消失”,因为我们可以这样逐渐重修赛道:

即:每次都将 x,x' 拉近,直至重合,从而脱离边界,慢慢缩为一点。细心的读者看到这里可能已经要打我了,很好,事实上这样的修法是行不通的。请看下图:

x_0 点顺时针(从上往下看的话)移动至 x_1 时,其对称点 x_0' 同时也会沿顺时针方向移动至 x_1' 。也就是说,无论如何拖动 xx\in\text{赛道}\cap\text{边界} ),它都会和赛道的另一端隔着一整个地球,我们的马拉松赛事又一次避免了消失的命运!古人有诗为证:

\Pi_1(\mathbb{R}P^2)=\mathbb{Z}_2\neq\{e\}=\Pi_1(S^2)


综上,用低科技向正常人证明地球表面是个球面而非什么FET的方法就是:办几场马拉松 \square

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:正人君子田伯光

【知乎日报】千万用户的选择,做朋友圈里的新鲜事分享大牛。
点击下载

此问题还有 428 个回答,查看全部。
延伸阅读:
目前宇宙中热门的研究对象有哪些?
地震局有什么用?

毒镜头:老镜头、摄影器材资料库、老镜头样片、摄影