如何向常人证明地球是球形的？

从拓扑学的角度来考虑或许是个很有意思的问题。

有意思的地方在于，题目中提到有人认为“坐船环游地球一周”即可证明地球表面是个球面（2-sphere），而在flat earth society 所提出的模型（以下简称FET）中，即便“环绕世界一圈，回到起点”也并不能很好地证明“球面说”。事实上，只需要稍微改进一下“环绕地球一圈”这个方法，即可分辨FET与球面模型的区别。

首先想象一下，地球上举办了首届环球马拉松锦标赛（TODO：想个好点儿的例子），比赛路线必须是首尾相接的，像这样：

结果， $\cancel{完成了比赛}\cancel{的选手都是}\cancel{粉色的大象}$ 没有选手完成比赛，因为赛道太长了。于是，组委会决定逐年缩减赛道长度，直到有人能完成比赛。同时，出于节省成本考虑（就当是这样吧），新赛道是通过贴着地面连续移动旧赛道而形成的。几年下来，马拉松赛道被修成了这样：

对你没看错，因为前些年口碑太差，已经没有人愿意参加比赛了，所以赛道的长度最终归零，赛事委员会运营爆破。

那么现在问题来了，如果赛委会转而信仰FET，运营爆破可不可以避免呢？首先我们来试图理解一下，从拓扑学的角度来看，FET到底说了什么。就笔者在FES论坛上的观察来看，其信众自身也没有对“平面地球的边界是什么样的”形成统一的意见。在此举两个我看到的说法为例。

首先是吃豆人说，即“从屏幕底端走进去便会从屏幕顶端走出来”。当然，吃豆人的屏幕一般是方形的，而FET模型是个圆盘，这该怎么办？没事同伦一下就好了：

其中 $a,b$ 代表FET圆盘边界上的两条线段。至于为什么只用两条就够了，因为对于线段 $a$ 上任意一点 $x_1$ ，进入 $x_1$ 的人都会出现在与之“虫洞相连”的 $x_2$ 点。由此，上下两条边界线段可以视为同一条（注意方向），左右边界同理。接下来我们把圆盘变方，使线段 $a,b$ 分别映射到 $a',b'$ ，同时保留他们之间的“虫洞关系”。不要问我为什么能这么做，你大概不会想听。

接下来，我们可以把方形的上下，左右两条边对应粘好：

于是我们看到了更加直观的吃豆人世界：一个甜甜圈的外表面！回到马拉松组委会的运营问题，我们可以看到，如果最开始的赛道是 $a,b$ 或者他们之间的任意组合（e.g. 跑2圈 $a$ 再跑-1圈 $b$ ）的话，无论沿着地球表面（禁止挖坑！）连续挪动赛道多少次，赛道长度都不可能变成零。世界线由此发生了改变，组委会的赛道永不trivial！后人用一句话总结了这段历史：

$\Pi_1(T^2)=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\neq\{e\}=\Pi_1(S^2)$

下面再来看第二种FET的说法，毕竟之前的吃豆人说看上去有点不自然不神赋：“边界上的这四个（或者一个）端点是怎么选出来的？有什么说法么？”为了避免他们的教义在未来产生分歧，我挑选了一个更加自然的版本：

如上图所示，若走入FET圆盘边界任意一点，便会从其与北极点（圆心）的对称点走出。需要注意的是，当你只有一只右脚跨入地球边界时，你将会暂时拥有两只左脚。（不是我说，这样还能跑马拉松么？）为了直观考虑，现在将这个圆盘视作与之同胚的半球面，马拉松组委会可以设计这样一条赛道：

其中 $x,x'$ 关于球心对称（注意这里的球心并不在地表，地表是个上半球面）。在这条世界线中，我们的赛道是否会消失呢？一个 $\cancel{\text{naive}}$ 直观的想法是“会消失”，因为我们可以这样逐渐重修赛道：

即：每次都将 $x,x'$ 拉近，直至重合，从而脱离边界，慢慢缩为一点。细心的读者看到这里可能已经要打我了，很好，事实上这样的修法是行不通的。请看下图：

当 $x_0$ 点顺时针（从上往下看的话）移动至 $x_1$ 时，其对称点 $x_0'$ 同时也会沿顺时针方向移动至 $x_1'$ 。也就是说，无论如何拖动 $x$ （ $x\in\text{赛道}\cap\text{边界}$ ），它都会和赛道的另一端隔着一整个地球，我们的马拉松赛事又一次避免了消失的命运！古人有诗为证：