• 简介

我们今天来说说微引力透镜现象和它的基础数学。

Gravity by Hartle笔记:如何不学场方程就玩转施瓦西度规之光线偏折可知,光线经过施瓦西度规周围时,其方向会发生偏折,即

\alpha=\frac{4GM}{c^2r} ,其中r为光线到质量中心最小的距离。

假想有一个前景恒星,当其经过一个背景恒星前面时,背景恒星发出的光,会有一部分被前景恒星偏折,然后正好偏到地球上来。我们就会发现背景恒星好像突然变亮了一般。这就是微引力透镜现象。

  • 透镜公式

上图画出了微引力透镜系统。O为我们,D为前景恒星,S为背景恒星。其中 \alpha 上面带个小尖尖的那个角(原谅我懒得查怎么用latex打。。我们就叫它为 \alpha' 吧)即为偏折角。 \theta 为成的像的角位置, \beta 为背景恒星到前景恒星的角位置。然后我们想导出各种观测量 \beta\theta 和物理量 D_S,D_{ds}, D_d 之间的关系,于是呢,我们把最右边的坚直的虚线和线段 \eta 加起来,正好等于 D_s\cdot \theta ,即

D_{ds}\frac{4GM}{c^2\xi}+D_s\beta=D_s\theta (大家要知道现在所有的角都很小可以近似成距离的比值)

同时除以 D_s ,用 D_d\theta 代替 \xi ,再定义个爱因斯坦环角大小 \theta_E=\sqrt{\frac{1-D_d/D_s}{D_d/D_s}D_sM} ,我们得到

\beta+\frac{\theta_E^2}{\theta}=\theta透镜公式

于是我们得到了透镜公式~

  • 成像性质

我们把透镜公式用爱因斯坦环角度归一化,即定义 r_E=\beta/\theta_E,~r=\theta/\theta_E ,透镜公式变成了

r_s+\frac{1}{r}=r

如果前景恒星正好正好正好经过背景恒星的正前方,也就是 \beta=0, r_s=0 ,那么系统成的像就会对称成一个圆环型,其角大小正好是之前定义的 \theta_E

如果前景恒星不是正好经过背景恒星正前方,那么就会成两个像,

r_\pm=\frac{r_s\pm \sqrt{r_s^2+4}}{2} ,其中+表示像在爱因斯坦环外,而-表示在其内。

两个像的角距离为 \Delta \theta=\theta_E(r_+-r_-)=\theta_E\sqrt{4+r_s^2}

  • 亮度放大率

在背景恒星周期的一小块区域里,单位面积通过的光流量是一样的,所以亮度放大率就等于有多少多出来的光从成的像的区域透了过来。即亮度放大率等于面积放大率。

考虑背景恒星成一个薄环状,有着圆心角 \Delta \phi 和半径变化 dr_s ,源的面积为 r_sdr_s\Delta \phi 其一左一右成了像,面积为 rdr\Delta \phi ,把透镜公式的两个解带进来就会发现,放大率为

\mu_\pm=\frac{(r_s\pm\sqrt{r_s^2+4})^2}{4r_s\sqrt{r_s^2+4}}

但是呢,成的两个像离得太近,我们又分不清,所以其实观测到的是个总放大率

\mu=|\mu_+|+|\mu_-|=\frac{r_s^2+2}{r_s\sqrt{r_s^2+4}}

估计一下,如果前景恒星正好从爱因斯坦环上过,那么放大率大概是1.342倍,对于测光观测来说很容易就看到了。

  • 光变曲线

我们考虑 r_s 随时间的变化如上图所示为

r_s(t)=\sqrt{u_0^2+\left(\frac{t-t_0}{t_E}\right)^2} 。带入放大率公式,即可得到光变曲线!

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:李刚

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