微引力透镜简介

闪, 新闻 • 2018年5月12日

简介

我们今天来说说微引力透镜现象和它的基础数学。

由Gravity by Hartle笔记：如何不学场方程就玩转施瓦西度规之光线偏折可知，光线经过施瓦西度规周围时，其方向会发生偏折，即

$\alpha=\frac{4GM}{c^2r}$ ，其中r为光线到质量中心最小的距离。

假想有一个前景恒星，当其经过一个背景恒星前面时，背景恒星发出的光，会有一部分被前景恒星偏折，然后正好偏到地球上来。我们就会发现背景恒星好像突然变亮了一般。这就是微引力透镜现象。

透镜公式

上图画出了微引力透镜系统。O为我们，D为前景恒星，S为背景恒星。其中 $\alpha$ 上面带个小尖尖的那个角（原谅我懒得查怎么用latex打。。我们就叫它为 $\alpha'$ 吧）即为偏折角。 $\theta$ 为成的像的角位置， $\beta$ 为背景恒星到前景恒星的角位置。然后我们想导出各种观测量 $\beta$ $\theta$ 和物理量 $D_S,D_{ds}, D_d$ 之间的关系，于是呢，我们把最右边的坚直的虚线和线段 $\eta$ 加起来，正好等于 $D_s\cdot \theta$ ，即

$D_{ds}\frac{4GM}{c^2\xi}+D_s\beta=D_s\theta$ (大家要知道现在所有的角都很小可以近似成距离的比值)

同时除以 $D_s$ ，用 $D_d\theta$ 代替 $\xi$ ，再定义个爱因斯坦环角大小 $\theta_E=\sqrt{\frac{1-D_d/D_s}{D_d/D_s}D_sM}$ ，我们得到

$\beta+\frac{\theta_E^2}{\theta}=\theta$ 透镜公式

于是我们得到了透镜公式~

成像性质

我们把透镜公式用爱因斯坦环角度归一化，即定义 $r_E=\beta/\theta_E,~r=\theta/\theta_E$ ，透镜公式变成了

$r_s+\frac{1}{r}=r$ 。

如果前景恒星正好正好正好经过背景恒星的正前方，也就是 $\beta=0, r_s=0$ ，那么系统成的像就会对称成一个圆环型，其角大小正好是之前定义的 $\theta_E$ 。

如果前景恒星不是正好经过背景恒星正前方，那么就会成两个像，

$r_\pm=\frac{r_s\pm \sqrt{r_s^2+4}}{2}$ ，其中+表示像在爱因斯坦环外，而-表示在其内。

两个像的角距离为 $\Delta \theta=\theta_E(r_+-r_-)=\theta_E\sqrt{4+r_s^2}$

亮度放大率

在背景恒星周期的一小块区域里，单位面积通过的光流量是一样的，所以亮度放大率就等于有多少多出来的光从成的像的区域透了过来。即亮度放大率等于面积放大率。

考虑背景恒星成一个薄环状，有着圆心角 $\Delta \phi$ 和半径变化 $dr_s$ ，源的面积为 $r_sdr_s\Delta \phi$ 其一左一右成了像，面积为 $rdr\Delta \phi$ ，把透镜公式的两个解带进来就会发现，放大率为

$\mu_\pm=\frac{(r_s\pm\sqrt{r_s^2+4})^2}{4r_s\sqrt{r_s^2+4}}$ 。

但是呢，成的两个像离得太近，我们又分不清，所以其实观测到的是个总放大率

$\mu=|\mu_+|+|\mu_-|=\frac{r_s^2+2}{r_s\sqrt{r_s^2+4}}$ 。

估计一下，如果前景恒星正好从爱因斯坦环上过，那么放大率大概是1.342倍，对于测光观测来说很容易就看到了。

光变曲线

我们考虑 $r_s$ 随时间的变化如上图所示为

$r_s(t)=\sqrt{u_0^2+\left(\frac{t-t_0}{t_E}\right)^2}$ 。带入放大率公式，即可得到光变曲线！

来源：知乎 www.zhihu.com

作者：李刚

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