发现了之前的bug,完全是计算方面的错误(具体的会在下面解释)。然而,原先写的实在是太乱了,这次更新就直接删掉原先的,重新写了。原先的部分可能给大家造成了很多误解,深感抱歉。

经逸心大佬指出,中子那里的解释还是有点问题。主要是我忘记了中子不带电,也忘了中子不稳定。又在最后进行了新的修改。


我们观测到的物体是什么颜色,取决于这个物体散射回来的可见光是什么颜色的。某个频率的光散射得越厉害,进入我们眼中的这个频率的光就越多,从而我们就会看到这个颜色。比如,我们看到天空是蓝色的,这是因为气体分子对可见光进行散射时,波长越短/频率越高的光散射的越厉害,从而进入我们眼中的蓝光也越多。

对于电子/质子/中子,也是同样的道理。不过题主这里想使用的方法不太恰当。单个的这种粒子很难观测,就算是能反射回来一丁点光,人眼也根本识别不了,所以看起来就是透明的。我们需要的是大量的这种基本粒子,比如电子气体/质子气体/中子气体。

我们引入一个新的物理量——散射截面 \sigma 。它的定义是,两种粒子A和B发生散射时,单个A粒子和单个B粒子发生散射的概率再乘以粒子束的截面面积。你可以直观地理解为,B粒子位于原点,有一束A粒子沿着z轴打过来,只有在x-y平面的投影位于B粒子为中心、面积为 \sigma 的圆内的A粒子能和B粒子发生散射,从而有可能进入我们的眼睛。

量子场论中可以计算这个物理量,具体的计算过程可以参考Peskin的《量子场论导论》第5章第5节,这里只放结果。(预警:以下计算结果非常复杂,想知道最终答案的直接跳过这些公式吧。)

使用自然单位制,电子(质子和中子不是基本粒子,与光的散射应该挺复杂的,这里就不考虑了)和光的散射(就是康普顿散射)公式为

\frac{d\sigma}{d\cos\theta}=\frac{\pi\alpha^2}{m^2}\frac{1}{[1+\frac{\omega}{m}(1-\cos\theta)]^2}\left\{ \frac{1}{1+\frac{\omega}{m}(1-\cos\theta)} +\left(1+\frac{\omega}{m}(1-\cos\theta)\right)-\sin^2\theta \right\}

其中 \theta 是散射的光子和入射的光子的夹角,\alpha 是精细结构常数,其值约为 1/137m 是这些基本粒子的质量, \omega 是光的角频率,和波长的关系是

\omega=c\frac{2\pi}{\lambda}

这个积分严格做出来就是

\sigma=\frac{\pi\alpha^2}{y^3(m+2my)^2}\left\{ 2y(2+y(1+y)(8+y))+(1+2y)^2(-2+(-2+y)y)\ln(1+2y)\right\}

其中 y=\omega/m ,在自然单位制下是光子能量和粒子静质能的比。

以电子为例,电子的质量是0.511 MeV (也就是 0.511\times10^6eV ),取可见光的波长为 500nm ,则可见光的光子的能量为 2.48 \times10^{-6}MeV ,远远小于电子的静质能。于是y约是百万分之一的大小,从而可以对上式做泰勒展开。这也是 @逸心 说的可以用经典的电子散射来计算的原因。展开之后,前几阶的结果是

\sigma=\frac{8\pi\alpha^2}{3m^2}-\frac{16\pi\alpha^2y}{3m^2}+\frac{208\pi\alpha^2y^2}{15m^2}+\mathcal{O}(y^3)

(原来用mathematica画了一些鬼畜的图,并且得出了这个东西在 y 很小时发散的错误结论。事实上并不是这样的。之前是因为带数值的时候,普朗克常数太小,可能已经超出了mathematica的极限,所以最后出错了。)

领头阶的微分散射截面的数值与 y 无关,结果是

\sigma=\frac{8\pi\alpha^2}{3m^2}=0.0017MeV^{-2}

换回国际单位制,就是 6.68\times10^{-29}m^2 (我之前又双叒叕换算错了)。

(这个换算,就是先将 \sigma 的单位换回焦耳,再用约化普朗克常数和光速凑量纲。如果用 \hbar^m c^n 能凑回面积量纲,那就在原先的结果的数值上乘上 \hbar^m c^n 的数值。这个问题里 m=n=2我要是又算错了,望不吝指正。)

一个典型的散射过程——大气分子的散射截面面积是 5.1\times10^{-31}m^2(数据来自

Rayleigh scattering

)(大气分子的散射已经不能再用上面的散射公式计算,因为大气分子不能看成基本粒子,而上述公式只对基本粒子成立。这个散射是用瑞利散射公式计算的,计算结果也在这个词条里)。

这个比较说明,当电子气体的浓度达到大气中气体分子的浓度的百分之一这个量级或者更浓的 时候,电子气体对光的散射将达到 大气 分子的程度甚至更强。由于电子气对于可见光的散射几乎是不依赖于波长的(因为领头阶的微分散射截面是不依赖于光的波长的,次领头阶已经是百万分之一的修正,可以不考虑了),所以会散射各个波段的可见光,看起来就像是逸心的答案中说的“类似于金属的反射”。

当电子气的浓度不高时,看起来是无色透明的。

对于质子,它们的质量约是 1000 MeV (电子质量的2000倍), 所以也是用领头阶就可以了。算出来的散射截面约是电子情形的四百万分之一。

质子气体的浓度得达到大气分子的浓度的一万倍,才能开始出现“类似金属的反射”。更稀薄的情况也是无色透明的。

(以下这一部分是根据 @逸心 大佬的评论进行的修改)

中子气体比较微妙。中子自身不带净电荷,但是由于它是由三个夸克组成的,并不是真正的点粒子,所以它有一个电荷的分布函数,对应于经典情形下的电偶极矩、电四极矩等等。它能和光子相互作用,不过要比质子和光子的相互作用弱很多。

查到的中子大小约为 10^{-15}m ,氮气和氧气分子的直径约为 10^{-10}m ,瑞利散射的截面和直径的6次方成正比。想要看到和大气分子的瑞利散射一样明显的中子的瑞利散射,大概需要把中子的浓度加到比大气分子的浓度高30个量级。估算了一下,这个浓度大概已经到(甚至超过)中子星里中子的浓度了(把中子星的质量化成静质能,除以单个中子的静质能,再除以中子星的体积,就能得到每立方米内中子的数量)(希望没有估算错)。所以一般的中子气体看起来应该是无色透明的。

另一方面,中子自身是不稳定的,半衰期约为600s,它会通过 \beta 衰变产生质子、电子和反电子中微子,其中有大概1/1000还会放出光子。

所以中子气体应该是刚造出来的时候是无色透明的,大约十分钟之后,中子气体开始转变成质子和电子气体,稠密的话会变得有金属光泽,不稠密的话还是无色透明的。

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:鸟雀呼晴

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