这个事情其实很简单,就是要给泛函做积分而已,我们知道物理上的拉式量实际上可以看成泛函:

S(x)=\int^t_{t_0}L(x,\dot{x},t)dt

而路径积分就是要求:

G(x,t;x_0,t_0)=\frac{\int\delta(\xi(t)-x)\delta(\xi(t_0)-x_0)e^{iS(\xi)}D\xi}{\int e^{iS(\xi)}D\xi}

当然这种物理上的写法,在数学家看来是无理取闹,这里面有三个问题,其中2个好解决,1个现在都还比较头疼。

1.Donsker泛函问题, \delta(\xi(t)-x) 这个东西出现在了积分中,我们知道δ函数根本就是不是通常意义的函数,而是广义函数,虽然广义函数的空间也是可以定义泛函的,但显然Donsker泛函不行,因为泛函是把函数(或者广义函数)映射为数,而Donsker泛函显然不满足这个要求,而你说他是广义泛函吗?是不是又把问题复杂化了?毕竟这又要扯泛函空间的对偶空间。

这个问题最后数学家们也只能将就一下,我个人觉得比较信服的有三个方案:

a.看成阶跃函数的导数,然后把求导提到积分号外面;

b.傅立叶变换;

c.吸收到测度的定义中(我比较喜欢的方案,我之后也这么讲)

2.无穷维空间中无法定义勒贝格测度,因为勒贝格测度满足齐次性,对于线性空间中的可测集A:

m(kA)=k^dm(A) ,其中d是空间的维数,这个d可以推广成任意正实数(也就是所谓分型测度),但就是没法成为无穷,所以 D\xi 其实是个没有意义的写法。

3.菲涅耳积分的勒贝格不可积性,这个真不好解决,所以现在的数学家的路径积分都还只讨论欧氏空间的,不讨论闵氏空间的。具体参考我的回答:

费曼路径积分的数学严格化有哪些困难和进展?

关于泛函测度的定义,我知道的有两套,一套比较具体,知道的人也多,但我觉得不好推广,就是维纳(Wiener)测度;还有一种是高斯测度,或者说是正态分布在无穷维空间的推广,不只适用于量子力学的路径积分,也适用于量子场论的路径积分。

一、维纳测度

首先定义基本积分空间 C[0,t] 是区间 [0,t] 上的所有连续函数,定义对于划分 T:0=t_0<t_1<t_2<...<t_n=t\mathbb{R}^n 中的可测集 \Omega 定义柱集:

I(T,\Omega)=\{x\in C[0,t]|(x(t_1),...,x(t_{n}))\in\Omega\}

然后,就可以定义柱集的维纳测度:

P(x_0,I(T,\Omega))=\int_\Omega \prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{i+1}-t_i)}}e^{-\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{2(t_{i+1}-t_i)}}dx_{i+1}

于是一般的可测集,就令:

P(x_0,A)=\inf\{P(x_0,I)|I是柱集,A\subset I\}

当然我们还需要证明这真的是个测度,维纳证明了这对于 C[0,t] 中的Borel集(也就是拓扑张成的 \sigma 代数)这都是严格可数可加的。

然后卡茨(Kac)又证明了

D(x,x_0,t)=\int_{\{C[0,t]|x(0)=x_0\}}\delta(\xi(t)-x)e^{-\int V(\xi)d\xi}dP(x_0,\xi)

是方程 \frac{\partial\psi}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi=0 的格林函数(很好证,利用Trotter乘积公式 e^{T+V}=\lim_{n\rightarrow+\infty}(e^{\frac{T}{n}}e^{\frac{V}{n}})^n 可秒),注意这个方程不是薛定谔方程,是随机行走的方程,或者说是经过Wick转动的薛定谔方程,由于路径积分是费曼提出的,这个公式就被称为费曼-卡茨公式了。

之前说了Donsker泛函是不严格的,我们可以考虑把这个吸收到测度里,定义一个不是概率测度的测度:

W(x_0,x_n,I(T,\Omega))=\int_\Omega \prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{2\pi(t_{i+1}-t_i)}}e^{-\frac{(x_{i+1}-x_i)^2}{2(t_{i+1}-t_i)}}\prod_{i=1}^{n-1}dx_i

这样:

D(x,x_0,t)=\int_{\{C[0,t]|x(0)=x_0,x(t)=x\}}e^{-\int V(\xi)d\xi}dW(x_0,x,\xi)

就没什么不舒服的地方了。

二、无穷维空间的正态分布

维纳积分适用于量子力学但对量子场论不太友好,因为量子场论中不光是对时间积分,而是对时空积分,不过我们发现自由场的作用量往往都可以写成如下形式:

S=\int\phi^*(x)\hat{O}\phi(x)d^4x

经过之前讲过的数学一大疑难Wick转动后,路径积分可以写成

D(x,y)=\frac{\int\phi(x)\phi^*(y)e^{-S}D\phi}{\int e^{-S}D\phi}

这里我们我如果可以构造一个概率测度:

dP=\frac{1}{\int e^{-S}D\phi}e^{-S}D\phi

那么数学严格化问题就搞定了,实际上这在有限维空间是好办的,因为这就是个高斯积分,这个测度就是正态分布的概率(注意是复数空间):

dP=\frac{\mathrm{det}O}{\pi^n}e^{-{\langle z,Oz\rangle}}\prod_{i=1}^{n}dz_i

然后利用公式:

(O^{-1})_{ij}=\int z_iz_j\frac{\mathrm{det}O}{\pi^n}e^{-{\langle z,Oz\rangle}}\prod_{k=1}^{n}dz_k

就可以解释量子场论的自由场的路径积分了,至于相互作用部分,是否能像费曼-卡茨公式那样做,也就是说:

D(x,y)=\int \phi(x)\phi^*(y)e^{-S_{int}}dP(\phi)

我才疏学浅答不上来,但至少这是一个数学上合法的算式,只是积分是否收敛和结果是否就是对应方程的格林函数有待证明。

如果要把此理论推广到无穷维空间,由于需要内积,显然得要求是希尔伯特空间了,虽然也可以通过柱集来定义,但其实还有更好的方案,我们在概率论中知道一个概率对应一个特征函数,那么对于无穷维空间中的概率也是一样,会有一个特征泛函,对于正态分布:

\int e^{-i(\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle)}dP(x)=e^{-\langle y,O^{-1}y\rangle}

这就足够定义一个中心在原点的正态分布了。

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:YorkYoung

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