固体物理中色散关系 (ω=ω(q)) 的物理意义是什么？

其实色散关系就完全确定了这个固体某个部分的性质，用另一个语言来说，确定粒子的色散关系就完全确定了粒子的性质和宏观热力学量。

我们在学习普通物理学的时候就知道，确定了一个粒子的色散关系，则确定了这个粒子几乎所有的性质，例如:

非相对论粒子: $E = \frac{{{p^2}}}{{2m}}$

相对论粒子: $E = \sqrt {{m^2}{c^4} + {p^2}{c^2}}$

极端相对论粒子： $E = \left| {\vec p} \right|c$

结合 $E = \hbar \omega ,\vec p = \hbar \vec k$

即可得到粒子的色散关系（频率-波矢关系）。

在固体物理中，我们常常也能画出这样一些个关系，包括晶体振动频率随着波矢的变化（从量子的角度，就是能量——动量关系），和准电子的能量——动量关系。

无论是声子的色散关系，声子能谱；或是电子的色散关系，电子能谱；他们统称激发谱。声子是晶格振动的能量量子，而电子是准电子——周期体系的公有化电子的能量量子。

当确定了色散关系的时候，一个体系的原激发（即准粒子的性质），被完全确定。

为了讲述色散关系的物理意义，我们可以看看我们怎么去确定色散关系的：

确定色散关系的方法是利用固定入射中子流 $\vec P$ ，测量中子的非弹性散射，测量某一方向的出射中子流 $\vec P'$ ,利用能量，动量守恒:

$\begin{gathered} \frac{{{{P'}^2}}}{{2M}} - \frac{{{P^2}}}{{2M}} = \pm \hbar \omega \left( {\vec q} \right) \hfill \\ \vec P' - \vec P = \pm \hbar \vec q + \hbar {{\vec K}_h} \hfill \\ \end{gathered}$

我们看到，真正参与相互作用的“声子”，完全是由色散关系确定的，在表达式中，我们自然的看到声子的色散关系进入计算。

简单的我们可以得到： $\to \pm \hbar \omega \left( {\frac{{ \pm \left( {\vec P' - \vec P} \right)}}{\hbar }} \right) = \frac{{{{P'}^2}}}{{2M}} - \frac{{{P^2}}}{{2M}}$

于是就测得了声子能谱上的一个点。

所以在某种意义上，当我们指声子这个客观客体，真正参与计算的是声子的色散关系，真正能够测量的也是声子的色散关系，因此，色散关系就成为了固体中声子的实在性的表现。

声子的色散关系同样也参与了热力学量的构建，因为声子热力学量的平均值为 $\left\langle O \right\rangle = \int {d\omega O \cdot f\left( \omega \right) \cdot g\left( \omega \right)}$ ，其中， $f\left( \omega \right) = \frac{V}{{{{\left( {2\pi } \right)}^3}}}\int {\frac{{ds}}{{\left| {{\nabla _q}\omega \left( q \right)} \right|}}}$ 是所谓的声子的模式密度——声子（态密度）谱，而 $g\left( \omega \right) = \frac{1}{{\exp \left( {\beta \hbar \omega } \right) - 1}}$ 是玻色分布函数。由于 $O,g(\omega)$ 是确定的，因此，力学量实际上是态密度谱的一个积分变换，从 $\omega \to T$ : $\left\langle O \right\rangle \left( T \right) = \int {d\omega f\left( \omega \right)\mathcal{K}\left( {\omega ,T} \right)}$