为什么是复坐标

之前一直有一个问题:为什么物理里面会经常在实的时空中出现复的坐标?比如,考虑一根弦在时空中运动,会在它的 world sheet 上引入复坐标;再比如,想要考虑二维共形场论的时候,也会引入复的坐标(这两个事情我感觉其实差不多);还比如,blabla…

如果只是问“为什么要这么做”,那可以就回答“因为方便”就好了:学过复变函数熟知“全纯或者反全纯都是共形的映射”,所以引入复坐标显得方便,没有问题。

所以问题大概是“为什么可以这么做,这样做是否会有所损失?如果有,损失了什么,是否会有本质的影响;如果没有,为什么没有”。

当然,我没法说更广大的情形下为什么有这么多复的东西跑出来,因为我甚至不清楚它们具体是怎么回事,以及起了什么作用。所以我大概尝试考虑一下最简单的情况,也就是开头提到的,二维的情况。

(其实说起来这个事情很无聊。。只是今天复几何上课老师顺口说了一下等温坐标,而我毕业论文写不动看书也看不懂来做些别的事情)

基本的出发点就是复变函数里面熟知的“全纯或者反全纯都是共形的映射”了。这个再具体一点说大概是这样:

Lemma. (线性空间版本)假定 (V,J) 是一个带有复结构的实向量空间且 \dim_{\mathbb R} V = 2,而 gV 上的一个内积且与复结构相容,那么每个与复结构交换或反交换的实线性同构 f : V \to V 都是相对于 g 共形的。

Proof. 换言之看成复向量空间的话这样的 f 就是复线性或者反线性的,下面只考虑交换的情况,反交换时没有什么区别。任取非零向量 v \in V,由内积与复结构相容有 g(v , Jv) = g(Jv,J^2v) = -g(Jv , v),故 vJv 正交,且显然长度相同。那么由 fJ 交换立即可知 g(f(v) , f(Jv)) = g(f(v) , J f(v)) = 0g(f(Jv) , f(Jv)) = g(Jf(v) , Jf(v)) = g(f(v) , f(v)),即 f(v)f(Jv) 也正交,且长度仍然相同。因为 f 是同构,引理得证。

Corollary. (流形版本)假定 M 是一个黎曼面,即复一维的复流形,而 g 是其上一个与复结构相容的黎曼度量,那么 M 的每个全纯或反全纯的自同构都是相对于 g 共形的。

自然会考虑反过来的事情:

Lemma. (线性空间版本)假定有 (V,J,g) 如上所述,那么每个共形映射 f : V \to V 都是与复结构交换或反交换的,具体由 f 是否改变定向而决定。

Proof. 同样取一个非零向量 v \in V,那么已经知道 \{v,Jv\} 是一组决定了定向的正交基且长度相同。由于 f 是共形的,故 f(v)f(Jv) 也是正交的且长度相同。但是现在只有二维,那么必须 f(Jv) = \pm Jf(v),正负号的选取等价于 f 是否改变定向。

Corollary. (流形版本)假定 (M,g) 如上所述,那么 M 上的每个共形映射都是全纯或者反全纯的。

换言之,在黎曼面上“共形”和“全纯”差不多是一回事。但是在问题的一开始,我们只有黎曼度量而没有复结构,所以只能谈论“共形”而无法谈论“全纯”。于是现在的问题是,给定一个黎曼流形,能否在其上给出一个相容的复结构?

一般来说当然是不行了,不过我们这里有很多限制,最大的限制就是只考虑二维的情况。

Lemma. (线性空间版本)假定 (V,g) 是一个二维实线性空间并且带有内积,则其上只有两个与内积相容的复结构,且二者互为共轭。

Proof. 要决定一个复结构 J 只需要对某一个非零向量 v 决定 Jv 究竟是谁即可,因为只有二维。相容的条件告诉我们 Jv 要与 v 正交,且有相同的长度,但这样的向量只有两个且差一个负号。

Corollary. (向量丛版本)假定 \pi : E \to M 是一个秩为 2 的定向向量丛而 g 是其上的一个丛度量,则其上存在唯一一个线性近复结构与度量相容且决定的定向与原来的定向相同。特别地,对一个二维定向黎曼流形 (M,g),存在唯一一个近复结构与度量相容且诱导的定向与原定向相同。

这里只是向量丛版本而不是流形版本,因为我们得到的这个近复结构是否可积还未可知。但是,回忆一个事实:

Theorem. (基本事实)二维黎曼流形上任一点附近总是存在等温坐标系。

虽然微分几何一定会说这个事情,但我并不会证这个命题,看证明也是看得要死,姑且就承认吧。(还是太分析了)

于是,给定一个二维定向黎曼流形 (M,g) 及其上任一点,总有一个开集 U 和其上的坐标 (x,y),使得 g \vert_U = \lambda(x,y)^2 \, (\mathrm d x^2 + \mathrm d y^2),且不妨假定 \mathrm d x \wedge \mathrm dy 给出了这个定向。那么显然,上面确定的那个近复结构 J 在局部表现为 J \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial y} , J \frac{\partial}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial x}。于是,若令 z = x + i y 给出 U 上的复坐标,则这个 U 上的复结构诱导出来的近复结构恰好也就是如此。换言之,此近复结构是可积的,可积这个性质是局部的。于是我们证明了:

Proposition. (流形版本)给定一个二维定向黎曼流形,其上存在唯一一个复结构,使得它与黎曼结构相容且诱导的定向与原定向相同。更进一步,由于维数的限制,它是一个凯勒流形。

我们还是来尝试看一下转移函数。假定有两个开集和其上的定向等温坐标系 (U,x,y)(V,u,v),如上所述给出复坐标 z = x+iyw = u+iv,那么这两个复坐标系之间的转移函数如何?

在实的情形,转移函数的微分的矩阵当然是 \begin{pmatrix}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix},这本身并没有任何特别的,特别之处在于等温。设 g \vert_U = \lambda(x,y)^2 \, (\mathrm d x^2 + \mathrm d y^2)g \vert_V = \mu(u,v)^2 \, (\mathrm d u^2 + \mathrm d v^2),那么有等式 \begin{pmatrix}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\mu^2 & 0 \\ 0 & \mu^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\lambda^2 & 0 \\ 0 & \lambda^2\end{pmatrix}。换言之,这个微分的矩阵乘以 \frac{\mu}{\lambda} 之后是正交矩阵。又因为定向,所以其实是在 \mathrm{SO}(2) 里面的。标准的论证知道 \mathrm{SO}(2) 里面的矩阵都是 \begin{pmatrix}a & -b \\ b & a\end{pmatrix} 这样的,所以立即得到 \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} , \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial v}{\partial x},也就是柯西-黎曼方程。于是,两个复坐标系之间的转移函数是全纯的,正如我们所预期的那样。

比较关键的点大概在于,两个李群 \mathrm{SO}(2)\mathrm{U}(1) 是同构的。

最后我们尝试把话说得更好听一点。定义一个流形上的共形结构为给定一个黎曼度量的共形等价类,于是一个黎曼结构确定了一个共形结构。前面的定理表明,二维定向流形上的一个黎曼结构能确定一个复结构,且从证明过程中显然两个共形等价的黎曼度量给出相同的复结构,即一个共形结构能给出一个复结构。

反过来,给定一个复结构,我们考虑与复结构相容的黎曼度量。这样的度量当然是存在的,但有很多。但二维的时候比较特别:

Lemma. (线性空间版本)假定 (V,J) 是一个二维实线性空间带有复结构,而 g_1 , g_2 是其上的内积且与复结构相容,则这两个内积共形等价。

Proof. 与前面一样,随便取一个非零向量 v \in V 考虑即可,证明很简单。

Corollary. (流形版本)假定 M 是一个黎曼面,则其上所有与复结构相容的度量都相互共形等价。

换言之,在一个二维流形上给定一个复结构,就存在唯一一个共形结构与其相容,即此等价类中的任一黎曼度量都与复结构相容。

从已经得到的这两个“存在唯一”容易看出:

Proposition. 一个二维定向流形,其上的复结构与共形结构有一个自然的一一对应。

那么回到问题的开始,我们试图考虑与一个二维流形上的共形结构相关的事情,那么使用复坐标是很自然的了,也没有损失任何的东西,因为这个复结构是被唯一确定的;想要考虑共形的变换,完全等价于考虑全纯或者反全纯的变换。这不仅在局部是正确的,而且在整体来看也是正确的。

说个题外话:之前看弦论的时候,大家动不动就是把度规变成 \begin{pmatrix}h & 0 \\ 0 & h\end{pmatrix} 的样子,理由不外乎是“规范等价”“数一数自由度”之类的。当时一直想不清楚为什么,现在突然想起来,这就是等温坐标啊。这件事往坏了说就是“物理学家们真不严谨,这么不显然的事情也敢直接往上写,幸好对了”,往好了说就是“物理学家们真厉害,数自由度这个方法用到天荒地老都没问题”。一想到我的毕业论文差不多也是把“数自由度”数出来的东西重新严格数一遍,不免感慨万千。

另一个题外话:这里当然只考虑黎曼度量,即正定的情况;如果要考虑洛伦兹度量,又该怎么办?当然,我不打算继续考虑下去了。

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:张智浩

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