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关于仿真和实验的关系再多说两句

所谓做“仿真”有两重意义
一重是用别人的方法来解决自己的问题,这类工作可以看做是实验的近似和补充。最极端的就是DNS,都”直接数值模拟“了,也就无所谓谁的方法,而且可行度也可以和实验比肩,代价可能还更高。
另一重是开发新的方法、模型用于仿真。这类工作本质和实验不同,需要一定程度的抽象和理论构造,所以不存在蒙头便算的情形。有更工程便经验的路子,也有偏理论的路子,应该说是理论研究和实用创新的结合。
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不大会讲客套话,见谅。
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题主的问题有些模糊,你所说的“湍流问题”指的是什么? @Kaiser 的回答混淆了Clay Institute的某个千禧年问题,还有人提到了数值解的残差问题,本着正本清源的精神,这几件事应该分开来讨论。

“湍流问题”可以有两种解读

第一种是应用层面的,即在存在湍流现象的系统中,给定边界条件,我们能不能预测某些宏观统计量或者瞬时值。前者例如给定飞机翼形、攻角、速度等,能不能预测平均升力和阻力?后者例如预测下周某一天的降雨、风速、阴晴。
前者应该说答案是很肯定的,现在的计算能力刚够可以做带Wall-Model的机翼LES,2030年前估计可以做整机的Wall-model LES,,机翼的DNS,或者起码Wall-Resolved LES。Wall-Resolved LES 和 DNS的精确性已经完全可以和实验比肩了。
后者的答案是半个肯定。计算能力假以时日一定能达到。也就是说我们可以相当精确地计算大气运动,但是因为湍流本身是高自由度的非线性系统,或者说是混沌的,准确的长期预报是理论上不可行的。Edward Lorenz在60十年代就指出,由于混沌系统对初始值的敏感性,天气预报的理论极限在三周左右。
湍流问题的第二种解读是物理层面的。所谓经典物理的最后难题,指的是这个层面。虽然湍流是混沌系统,我们无法做瞬时值的长期预测,但观察表明湍流的宏观统计量是稳定的。举个例子,一个匀速运动的球体,尾部形成湍流。尾流的速度场一直在变化而球速是个定值。显然,其瞬时值并不能表示成球体速度的方程。但如果给定球速,速度场的时间平均值是确定的(起码经验的来说)。众所周知,NS方程描述的是瞬时值的演变,那什么方程式可以用来描述这个稳定的宏观统计量呢?显然这个方程不是NS方程。而简单的把NS方程做时间平均,或者系综平均,又会产生多余的未知量。
换而言之,这个混沌系统有一个并不混沌的宏观统计量,约束这个量的物理规律我们还不知道。通过DNS,我们可以得到一系列的瞬时值,然后可以处理得到统计量。但这并不等于我们掌握了约束这个统计量的物理规律。DNS只能相当于用计算机做实验。数值模拟可以克服实际实验上难以逾越的困难,因此可以帮助我们得到实验难以获得的数据,可以说是对实验的补充。但是得到实验结果和发现物理规律是两回事。所以在这个层面上,答案是完全否定的。

Clay Institute的某个千禧年问题
(数学已经超过我的专业范围,这里只是抛砖引玉)
Clay Institute关于NS方程的千禧年问题并不是求解析解,而是证明给定任意光滑无散度初值,证明或者证否三维NS方程始终存在光滑解。所以这是个证明问题而不是求解问题。那这个问题和DNS或者说数值解有没有关系呢?勉强有一点。
DNS或者广义的NS方程数值模拟是求某一个弱解,NS方程千禧年问题是证明光滑强解存在性。本质上是非常不同的问题。不过,解决NS问题的一种思路是先构造某种弱解,证明这个弱解的存在性,然后通过强化这个弱解,最终得到光滑的强解。法国数学家Leray三十年代就做了类似的工作,当然最后一步没做成,后来也没有人做成。Terry Tao的博客里说他觉得这不是一个可行的思路。而且他今年的发表的文章似乎显示证否的可能性更大。
所谓数值解的残差或者说精度,只是说给定某个初始值,如果存在光滑强解(真实值),某种数值方法得到的弱解和真实值的差在某个范围里面。所以这个概念本身并不涉及任意初值的强解存在性,也不涉及湍流。 @高阳说精度问题不是计算能力可以解决的,这个说法是错误的。凡是能用的数值方法,都必须满足收敛性。方法好坏指的是收敛快慢。换句话说,给定计算资源下谁和真实值的误差更小,如果没有计算能力限制,不存在低精度方法和高精度方法谁更准的问题。

来源:知乎 www.zhihu.com

作者:马拉轰

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